No lançamento simultâneo de dois dados diferentes, calcule a probabilidade de ocorrer:
a soma dos números igual a 10;

Passo 1

O enunciado diz: lançam-se simultaneamente dois dados diferentes (justamente dois dados justos de seis faces, numerados de 1 a 6). A pergunta é: qual a probabilidade de que a soma dos números obtidos seja igual a 10?
Informações relevantes dadas:
  • Cada dado tem faces com os números 1,2,3,4,5,6.
  • Os lançamentos são simultâneos e independentes (o resultado de um não influencia o outro).
  • Queremos a probabilidade do evento "soma igual a 10".

Passo 2

Construir o espaço amostral: como os dados são distintos, cada resultado pode ser representado por um par ordenado (i,j), onde i é o valor do primeiro dado e j o valor do segundo dado. Cada componente pode assumir 6 valores, então o número total de resultados possíveis é
\#\Omega = 6 \cdot 6 = 36.
Como os dados são justos, assumimos que todos os 36 resultados são equiprováveis (cada par (i,j) tem probabilidade igual).

Passo 3

Definir o evento de interesse: seja A o evento "a soma é 10". Isso significa
A = \{(i,j)\in\Omega \mid i+j = 10\}.
Agora vamos enumerar os pares ordenados (i,j) com i+j=10. Testando os valores possíveis de i de 1 a 6:
  • i=1 exige j=9 (impossível, pois j\le6);
  • i=2 exige j=8 (impossível);
  • i=3 exige j=7 (impossível);
  • i=4 exige j=6 (possível) — par (4,6);
  • i=5 exige j=5 (possível) — par (5,5);
  • i=6 exige j=4 (possível) — par (6,4).
Portanto os resultados favoráveis são (4,6), (5,5) e (6,4). Logo
\#A = 3.

Passo 4

Usar a definição de probabilidade para eventos em um espaço equiprovável:
\mathbb{P}(A)=\frac{\#A}{\#\Omega}.
Substituindo os valores que encontramos:
\mathbb{P}(\text{soma}=10)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}.

Passo 5

Comentário didático curto (truque útil para a prova): para dois dados justos, o número de maneiras (pares ordenados) de obter soma s\) é \[\begin{cases} s-1, & \text{se }2\le s\le 7,\\[4pt] 13-s, & \text{se }7\le s\le 12. \end{cases}
Para s=10\] isso dá \(13-10=3 maneiras, consistente com a enumeração feita. Isso ajuda a achar rapidamente \#A sem listar todos os pares.]

Resposta

\dfrac{1}{12}

Exercícios relacionados