Se
e
0,20 , A e B são mutuamente exclusivos?
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá.
- Pergunta: “A e B são mutuamente exclusivos?” (ou seja: existe interseção entre A e B?)
- Dados fornecidos:
-
Passo 2
O que significa “mutuamente exclusivos” e a fórmula que vamos usar.
- Dois eventos
e são mutuamente exclusivos quando não podem ocorrer simultaneamente, isto é, quando - A relação entre união, soma e interseção em probabilidade é dada por
Aqui: -
é a probabilidade de ocorrer ou (ou ambos), -
e são as probabilidades marginais, -
é a probabilidade de ocorrerem ambos ao mesmo tempo.
-
Passo 3
Teste rápido da condição de mutuamente exclusivos diretamente pela soma.
- Se
e fossem mutuamente exclusivos então deveríamos ter - Calcular a soma:
- Comparando com o valor dado de
, vemos que portanto já dá para ver que não é o caso . Assim, à primeira vista, e não são mutuamente exclusivos.
Passo 4
Cálculo explícito de
e verificação de consistência dos dados.
- Usando a fórmula da união para obter
: - Substituindo os números dados:
- Agora uma propriedade necessária: para quaisquer eventos vale
Aqui . Mas o cálculo deu , que é maior que . Isso é impossível: a probabilidade da interseção não pode exceder a menor das probabilidades marginais. - Conclusão lógica: os números fornecidos são inconsistentes (impossíveis) entre si. Mesmo assim, o valor calculado de
seria , o que não é zero, então, se aceitássemos os números sem checar consistência, a resposta à pergunta “são mutuamente exclusivos?” seria “não”. Mas o correto é notar que os dados não podem acontecer simultaneamente num mesmo espaço probabilístico.
Passo 5
Resumo final e incentivo.
- Resultado prático: os eventos não são mutuamente exclusivos (porque a conta dá
). - Observação importante: os três valores dados não são consistentes entre si; há uma contradição porque
não pode ser menor que nem , e a interseção não pode exceder . Isso indica erro nos números do enunciado.
Força — você fez a verificação correta: sempre confira se os números satisfazem as desigualdades básicas da probabilidade antes de responder diretamente.
Resposta
Não. Os dados são inconsistentes, pois
, o que é impossível.