Se P(A)=0,24, P(B)=0,16 e (P(A \cup B))= 0,20 , A e B são mutuamente exclusivos?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá.
  • Pergunta: “A e B são mutuamente exclusivos?” (ou seja: existe interseção entre A e B?)
  • Dados fornecidos:
    • P(A)=0,24
    • P(B)=0,16
    • P(A\cup B)=0,20

Passo 2

O que significa “mutuamente exclusivos” e a fórmula que vamos usar.
  • Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos quando não podem ocorrer simultaneamente, isto é, quando P(A\cap B)=0.
  • A relação entre união, soma e interseção em probabilidade é dada por P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).Aqui:
    • P(A\cup B) é a probabilidade de ocorrer A ou B (ou ambos),
    • P(A) e P(B) são as probabilidades marginais,
    • P(A\cap B) é a probabilidade de ocorrerem ambos ao mesmo tempo.

Passo 3

Teste rápido da condição de mutuamente exclusivos diretamente pela soma.
  • Se A e B fossem mutuamente exclusivos então deveríamos ter P(A\cup B)=P(A)+P(B).
  • Calcular a soma: P(A)+P(B)=0,24+0,16=0,40.
  • Comparando com o valor dado de P(A\cup B)=0,20, vemos que 0,40 \neq 0,20,portanto já dá para ver que não é o caso P(A\cap B)=0. Assim, à primeira vista, A e B não são mutuamente exclusivos.

Passo 4

Cálculo explícito de P(A\cap B) e verificação de consistência dos dados.
  • Usando a fórmula da união para obter P(A\cap B): P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B).
  • Substituindo os números dados: P(A\cap B)=0,24+0,16-0,20=0,20.
  • Agora uma propriedade necessária: para quaisquer eventos vale 0 \le P(A\cap B)\le \min\{P(A),P(B)\}.Aqui \min\{P(A),P(B)\}=\min\{0,24,0,16\}=0,16. Mas o cálculo deu P(A\cap B)=0,20, que é maior que 0,16. Isso é impossível: a probabilidade da interseção não pode exceder a menor das probabilidades marginais.
  • Conclusão lógica: os números fornecidos são inconsistentes (impossíveis) entre si. Mesmo assim, o valor calculado de P(A\cap B) seria 0,20, o que não é zero, então, se aceitássemos os números sem checar consistência, a resposta à pergunta “são mutuamente exclusivos?” seria “não”. Mas o correto é notar que os dados não podem acontecer simultaneamente num mesmo espaço probabilístico.

Passo 5

Resumo final e incentivo.
  • Resultado prático: os eventos não são mutuamente exclusivos (porque a conta dá P(A\cap B)\neq0).
  • Observação importante: os três valores dados não são consistentes entre si; há uma contradição porque P(A\cup B) não pode ser menor que P(A) nem P(B), e a interseção não pode exceder \min\{P(A),P(B)\}. Isso indica erro nos números do enunciado.
    Força — você fez a verificação correta: sempre confira se os números satisfazem as desigualdades básicas da probabilidade antes de responder diretamente.

Resposta

Não. Os dados são inconsistentes, pois P(A\cap B)=0,24+0,16-0,20=0,20>\min\{0,24,0,16\}=0,16, o que é impossível.

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