Lançamento Vertical e Queda Livre (MUV)
Um projétil é lançado do solo verticalmente para cima, com velocidade de 40 m / s.
Admitindo g=10 m / s^2 e desprezando a resistência do ar, determine:
a) a função da posição;
b) a posição no tempo t=8 s;
c) a função da velocidade;
d) a altura máxima atingida;
e) o instante em que o projétil atinge o solo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Lançamento Vertical e Queda Livre, que faz parte do estudo de Movimento Uniformemente Variado (MUV). A gente vai precisar das fórmulas de posição e velocidade para movimentos retilíneos com aceleração constante. Vamos lá!

Passo 2

a) Determinar a função da posição
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da posição no MUV:
s(t) = s0 + v0 t + 12 a t^2
Aqui:
  • $ s_0 $ é a posição inicial. Como o projétil é lançado do solo, $ s_0 = 0 $.
  • $ v_0 $ é a velocidade inicial, que é $ 40 , m/s $.
  • $ a $ é a aceleração. Como a única força atuando é a gravidade, $ a = -g = -10 , m/s^2 $ (negativo porque está para baixo).
Substituindo na fórmula:
s0
s0 = 0

Passo 3

b) Determinar a posição no tempo $ t = 8 , s $
Usando a função da posição que encontramos:
t = 8 , s
s(8) = 40(8) - 5(8)^2
s(8) = 320 - 5(64)
s(8) = 320 - 320
Isso significa que, após 8 segundos, o projétil retorna ao solo.

Passo 4

c) Determinar a função da velocidade
A fórmula da velocidade no MUV é:
v(t) = v0 + a t
Substituindo os valores:
v(t) = 40 - 10t

Passo 5

d) Determinar a altura máxima atingida
A altura máxima ocorre quando a velocidade é zero ($ v(t) = 0 $):
v(t) = 0
0 = 40 - 10t
10t = 40
Agora, substituímos esse valor na função da posição para encontrar a altura máxima:
t = 4 , s
s(4) = 40(4) - 5(4)^2
s(4) = 160 - 5(16)
s(4) = 160 - 80

Passo 6

e) Determinar o instante em que o projétil atinge o solo
Para encontrar quando o projétil volta ao solo, resolvemos $ s(t) = 0 $:
s(t) = 0
40t - 5t^2 = 0
As soluções são:
t(40 - 5t) = 0 (lançamento)
t = 0 , s
Portanto, o projétil atinge o solo novamente após 8 segundos.

Resposta

a) $ s(t) = 40t - 5t^2 $
b) $ s(8) = 0 , m $
c) $ v(t) = 40 - 10t $
d) Altura máxima de 80 metros
e) O projétil atinge o solo novamente após 8 segundos

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