Ao lançar dois dados em sequencia, quer-se atingir um total de 11 pontos.
a) Qual a probabilidade que isto ocorra?
b) Qual a probabilidade que isto ocorra supondo que o primeiro dado deu “4”?
c) Qual a probabilidade que isto ocorra supondo que o primeiro dado deu " 6 "?
d) O evento "total de 11 pontos"é independente do resultado do primeiro dado? Justifique.
a) Qual a probabilidade que isto ocorra?
b) Qual a probabilidade que isto ocorra supondo que o primeiro dado deu “4”?
c) Qual a probabilidade que isto ocorra supondo que o primeiro dado deu " 6 "?
d) O evento "total de 11 pontos"é independente do resultado do primeiro dado? Justifique.
Passo 1
Beleza, a questão é sobre lançar dois dados em sequência e querer que a soma dê 11 pontos. O conteúdo aqui é Probabilidade Clássica (contar resultados), Probabilidade Condicional (P(A|B)) e Independência de Eventos. Para resolver a gente vai usar:
- Espaço amostral Ω de tamanho 36 (6×6).
- P(A)=n(A)/n(Ω).
- P(A|B)=P(A∩B)/P(B).
- Dois eventos A e B são independentes se P(A∩B)=P(A)·P(B).
Passo 2
(a) Probabilidade de soma = 11:
– Primeiro, contamos todos os pares (i,j) com i+j=11, onde i e j vão de 1 a 6. Só temos (5,6) e (6,5), ou seja n(A)=2.
– Como |Ω|=36,
– Primeiro, contamos todos os pares (i,j) com i+j=11, onde i e j vão de 1 a 6. Só temos (5,6) e (6,5), ou seja n(A)=2.
– Como |Ω|=36,
Passo 3
(b) Probabilidade de soma = 11 sabendo que o primeiro dado deu 4:
– Aqui B é “primeiro dado = 4”, logo |B|=6 (as possibilidades do segundo dado).
– Para soma 11, precisamos de 4 + j = 11 ⇒ j = 7, mas não existe 7 num dado. Então n(A∩B)=0.
– Aqui B é “primeiro dado = 4”, logo |B|=6 (as possibilidades do segundo dado).
– Para soma 11, precisamos de 4 + j = 11 ⇒ j = 7, mas não existe 7 num dado. Então n(A∩B)=0.
Passo 4
© Probabilidade de soma = 11 sabendo que o primeiro dado deu 6:
– Agora B é “primeiro = 6”, ainda |B|=6.
– Para dar 11, precisamos de 6 + j = 11 ⇒ j = 5. Só tem um caso (6,5), logo n(A∩B)=1.
– Agora B é “primeiro = 6”, ainda |B|=6.
– Para dar 11, precisamos de 6 + j = 11 ⇒ j = 5. Só tem um caso (6,5), logo n(A∩B)=1.
Passo 5
(d) Independência entre “soma = 11” (A) e “resultado do primeiro dado” (B)?
– Se fossem independentes, teríamos P(A|B)=P(A) para todo resultado B. Mas vimos que por exemplo, para B = “primeiro = 6”,
– Se fossem independentes, teríamos P(A|B)=P(A) para todo resultado B. Mas vimos que por exemplo, para B = “primeiro = 6”,
Como
, dá para ver que não dá para separar A e B. Logo são eventos dependentes.
Resposta
a)
b)
c)
d) Não são independentes, pois .
b)
c)
d) Não são independentes, pois