Um apostador aposta no lançamento de um dado em um único número. Qual a probabilidade de:
a) em três jogadas, ganhar as três.
b) em quatro jogadas, ganhar exatamente as duas primeiras.
c) em quatro jogadas, ganhar exatamente duas (quaisquer).
d) em quatro jogadas, ganhar pelo menos duas.
e) em quatro jogadas, ganhar duas seguidas.

Passo 1

O enunciado diz que um apostador lança um dado justo e aposta em um número fixo. A probabilidade de “ganhar” (acertar o número) em cada jogada é
p = tfrac16
e os lançamentos são independentes. Precisamos calcular várias probabilidades envolvendo combinações de sucessos (ganhos) e fracassos (perdas) em 3 ou 4 jogadas.
Conteúdos e ferramentas que vamos usar:
  1. Regra do produto para eventos independentes: se dois eventos são independentes, P(X=k)=binom nk,p^k,(1-p)^,n-k.
  2. Distribuição binomial: para tentativas independentes com probabilidade de sucesso ,
  1. Complemento de um evento: .
  2. Combinatória básica: .

Passo 2

Queremos a probabilidade de ganhar nas três jogadas (todas sucessos). Como cada jogada tem probabilidade P(3 vitórias) = pcdot pcdot p = l(tfrac16r)^3 e são independentes,
ó

Passo 3

Agora em quatro jogadas, ganhar exatamente as duas primeiras. Isso significa: vitória, vitória, derrota, derrota, nessa ordem específica.
  • Probabilidade de vitória em cada uma das duas primeiras: P(VVDD) = l(tfrac16r)^2;l(tfrac56r)^2.
  • Probabilidade de derrota nas duas últimas: .
    Como as jogadas são independentes, multiplica tudo:

Passo 4

Em quatro jogadas, ganhar exatamente duas (em quaisquer posições). Aqui usamos a distribuição binomial com P(X=2)=binom 4 2,p^2,(1-p)^2 = 6;l(tfrac16r)^2;l(tfrac56r)^2, , :

Passo 5

Em quatro jogadas, ganhar pelo menos duas, ou seja P(X>=2)=1 - P(X<2)=1 - l[P(X=0)+P(X=1)r]. É mais fácil usar o complemento:
P(X>=2)=1 - l[(tfrac56)^4 + 4cdottfrac16cdot(tfrac56)^3r]

  • Então

Passo 6

Em quatro jogadas, ganhar duas seguidas (ou seja, ter pelo menos um par “VV” consecutivo). A gente calcula o complemento: “não ter VV” em nenhuma posição e subtrai de 1.
  1. Probabilidade de não ter nenhuma sequência de duas vitórias juntas em 4 jogadas. Podemos somar os casos:
    a) Zero vitórias: 3;l(tfrac16r)^2;l(tfrac56r)^2.
    b) Uma vitória (qualquer posição): P(pelo menos um VV) = 1 - P(sem VV).
    c) Duas vitórias não consecutivas: para evitar “VV” em 4 posições, só há 3 pares de posições possíveis . Logo
    (Com 3 ou 4 vitórias sempre aparece “VV”, então não entram.)
    Somando esses três casos dá .
  2. Finalmente:

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)

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