Se lançarmos 3 moedas, e depois escolhermos uma bola de uma urna numerada de 1 a 7 , qual é o espaço amostral? (2 ponto)

Passo 1

Enunciado (o que a questão pede): qual é o espaço amostral quando lançamos três moedas e, em seguida, escolhemos uma bola de uma urna numerada de 1 a 7.
Informações dadas: (1) há três lançamentos de moeda, cada lançamento pode dar duas faces; (2) a escolha da bola é feita numa urna com as bolas numeradas 1,2,3,4,5,6,7.
O que devemos fornecer: a descrição completa do espaço amostral (todos os resultados possíveis do experimento composto).

Passo 2

Entendendo um único lançamento de moeda: cada lançamento tem dois resultados possíveis. Vou representar esses resultados como \text{cara} e \text{coroa}. Formalmente o conjunto de resultados de um lançamento é
S=\{\text{cara},\text{coroa}\}.
Explanação didática: pensar em S como a lista de opções para um lançamento individual — é simples e é onde começamos.

Passo 3

Construindo os resultados dos três lançamentos (ordem importa): como lançamos a moeda três vezes e a ordem dos lançamentos conta (primeiro, segundo, terceiro), o conjunto de sequências possíveis dos três lançamentos é o produto cartesiano S\times S\times S, que chamarei de S^3. Existem 2 opções por lançamento, então há 2\cdot2\cdot2=8 sequências possíveis. Vou listar explicitamente as 8 sequências:
S^3=\{(\text{cara},\text{cara},\text{cara}),(\text{cara},\text{cara},\text{coroa}),(\text{cara},\text{coroa},\text{cara}),(\text{cara},\text{coroa},\text{coroa}),
(\text{coroa},\text{cara},\text{cara}),(\text{coroa},\text{cara},\text{coroa}),(\text{coroa},\text{coroa},\text{cara}),(\text{coroa},\text{coroa},\text{coroa})\}.
Didática: cada elemento acima é uma sequência ordenada indicando o resultado do primeiro, segundo e terceiro lançamento, respectivamente.

Passo 4

Conjunto de resultados da escolha da bola: a escolha da bola dá um número entre 1 e 7. Represento esse conjunto por
B=\{1,2,3,4,5,6,7\}.
Didática: esta é uma escolha simples com 7 possibilidades, independentes dos lançamentos de moeda.

Passo 5

Combinação dos dois experimentos: o experimento total (três lançamentos + escolha da bola) tem resultados que são pares ordenados formados por uma sequência de três faces e um número da urna. Formalmente o espaço amostral é o produto cartesiano S^3\times B. Cada resultado tem a forma
(x_1,x_2,x_3,k)
onde x_i\in\{\text{cara},\text{coroa}\} para i=1,2,3 e k\in\{1,2,3,4,5,6,7\}. Exemplo de um resultado: (\text{cara},\text{coroa},\text{cara},3) significa que os lançamentos deram cara, coroa, cara (nessa ordem) e a bola escolhida foi a de número 3.

Passo 6

Tamanho do espaço amostral e forma compacta: como há 8 sequências possíveis de moedas e 7 escolhas de bola, o número total de resultados é 8\cdot7=56. Uma descrição compacta e final do espaço amostral é dada por:
\Omega=\{(x_1,x_2,x_3,k)\mid x_i\in\{\text{cara},\text{coroa}\}\text{ para }i=1,2,3,\\ k\in\{1,2,3,4,5,6,7\}\}.

Resposta

\Omega=\{(x_1,x_2,x_3,k)\mid x_i\in\{\text{cara},\text{coroa}\}\text{ para }i=1,2,3,\\ k\in\{1,2,3,4,5,6,7\}\}.

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