Exercício 3.1 : Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. ( c_{1} e c_{2} são constantes)
x^{\prime \prime}+16 x=0, \quad x=c_{1} \cos 4 t+c_{2} \sin 4 t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma função candidata. O que foi informado e o que se pede:
  • Equação diferencial: x'' + 16x = 0.
  • Função candidata: x = c_{1}\cos 4t + c_{2}\sin 4t, onde c_{1} e c_{2} são constantes (arbitrárias).
  • Pergunta: verificar se a função dada é, de fato, uma solução da equação diferencial — isto é, se ao substituir essa função na equação ela a satisfaz para todo t.

Passo 2

O que significa “verificar uma solução” e quais ferramentas precisamos:
  • Verificar uma solução quer dizer: calcular x, x' e x'' da função proposta e substituir esses resultados em x'' + 16x. Se o lado esquerdo for identicamente zero (para todo t), então a função é solução.
  • Regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma clara):
    • Derivada de uma constante multiplicando uma função: \dfrac{d}{dt}\big(a\cdot f(t)\big) = a\cdot f'(t), onde a é constante.
    • Derivada de \cos(u(t)): pela regra da cadeia, \dfrac{d}{dt}\cos(u(t)) = -\sin(u(t))\cdot u'(t).
    • Derivada de \sin(u(t)): \dfrac{d}{dt}\sin(u(t)) = \cos(u(t))\cdot u'(t).
    • No nosso caso u(t)=4t, então u'(t)=4. Ou seja, derivar \cos(4t) traz um fator extra 4 vindo da cadeia, e o mesmo para \sin(4t).
  • Variáveis: t é a variável independente (tempo, por exemplo). c_{1},c_{2} são constantes (não dependem de t).

Passo 3

Calcular a primeira derivada x' passo a passo:
  • Começamos de x = c_{1}\cos 4t + c_{2}\sin 4t.
  • Derivando termo a termo, usando linearidade da derivada e as fórmulas acima: \dfrac{d}{dt}\big(c_{1}\cos 4t\big) = c_{1}\cdot \dfrac{d}{dt}\cos 4t = c_{1}\cdot\big(-\sin 4t\big)\cdot 4 = -4c_{1}\sin 4t.
\dfrac{d}{dt}\big(c_{2}\sin 4t\big) = c_{2}\cdot \dfrac{d}{dt}\sin 4t = c_{2}\cdot\cos 4t\cdot 4 = 4c_{2}\cos 4t.
  • Somando os dois termos obtemos x' = -4c_{1}\sin 4t + 4c_{2}\cos 4t.

Passo 4

Calcular a segunda derivada x'' passo a passo:
  • Diferenciamos x' = -4c_{1}\sin 4t + 4c_{2}\cos 4t termo a termo.
  • Para o primeiro termo: \dfrac{d}{dt}\big(-4c_{1}\sin 4t\big) = -4c_{1}\cdot \dfrac{d}{dt}\sin 4t = -4c_{1}\cdot\cos 4t\cdot 4 = -16c_{1}\cos 4t.
  • Para o segundo termo: \dfrac{d}{dt}\big(4c_{2}\cos 4t\big) = 4c_{2}\cdot \dfrac{d}{dt}\cos 4t = 4c_{2}\cdot\big(-\sin 4t\big)\cdot 4 = -16c_{2}\sin 4t.
  • Somando, x'' = -16c_{1}\cos 4t -16c_{2}\sin 4t.
  • Agora fatoramos -16: x'' = -16\big(c_{1}\cos 4t + c_{2}\sin 4t\big).
  • Observação importante: a expressão entre parênteses é exatamente x. Portanto x'' = -16x.

Passo 5

Substituir em x'' + 16x e concluir:
  • Usando x'' = -16x, temos x'' + 16x = -16x + 16x = 0.
  • A igualdade é verdadeira para todo t e para quaisquer constantes c_{1},c_{2}. Isso prova que a função dada satisfaz a equação diferencial identicamente.
  • Intuição final (breve e amistosa): como essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, sua solução geral geralmente envolve duas constantes arbitrárias — e a combinação c_{1}\cos 4t + c_{2}\sin 4t é exatamente essa solução geral aqui.

Resposta

Sim — x=c_{1}\cos 4t+c_{2}\sin 4t é solução, pois ao substituir obtém-se x''+16x=0.

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