Exercício 3.1 : Verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial. (
e
são constantes)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma função candidata. O que foi informado e o que se pede:
- Equação diferencial:
. - Função candidata:
, onde e são constantes (arbitrárias). - Pergunta: verificar se a função dada é, de fato, uma solução da equação diferencial — isto é, se ao substituir essa função na equação ela a satisfaz para todo
.
Passo 2
O que significa “verificar uma solução” e quais ferramentas precisamos:
- Verificar uma solução quer dizer: calcular
, e da função proposta e substituir esses resultados em . Se o lado esquerdo for identicamente zero (para todo ), então a função é solução. - Regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma clara):
- Derivada de uma constante multiplicando uma função:
, onde é constante. - Derivada de
: pela regra da cadeia, . - Derivada de
: . - No nosso caso
, então . Ou seja, derivar traz um fator extra vindo da cadeia, e o mesmo para .
- Derivada de uma constante multiplicando uma função:
- Variáveis:
é a variável independente (tempo, por exemplo). são constantes (não dependem de ).
Passo 3
Calcular a primeira derivada
passo a passo:
- Começamos de
. - Derivando termo a termo, usando linearidade da derivada e as fórmulas acima:
- Somando os dois termos obtemos
Passo 4
Calcular a segunda derivada
passo a passo:
- Diferenciamos
termo a termo. - Para o primeiro termo:
- Para o segundo termo:
- Somando,
- Agora fatoramos
: - Observação importante: a expressão entre parênteses é exatamente
. Portanto
Passo 5
Substituir em
e concluir:
- Usando
, temos - A igualdade é verdadeira para todo
e para quaisquer constantes . Isso prova que a função dada satisfaz a equação diferencial identicamente. - Intuição final (breve e amistosa): como essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, sua solução geral geralmente envolve duas constantes arbitrárias — e a combinação
é exatamente essa solução geral aqui.
Resposta
Sim —
é solução, pois ao substituir obtém-se
.