Lance um dado e uma moeda.
a) Construa o espaço amostral.
b) Enumere os seguintes eventos;
A=\{ coroa, marcado com número par \} \(\mathrm{B}=\{ cara, marcado com número impar \}\\ \(\mathrm{C}=\{ múltiplo de 3 \} c) Expresse os seguintes eventos: I) \(\bar{B}
II) \quad A ou B
III) \overline{A \cup B}
IV) Verifique dois a dois os eventos A , B e C e diga quais são mutuamente exclusivos.)

Passo 1

O enunciado pede que a gente lance um dado (com faces numeradas de 1 a 6) e uma moeda (com faces “cara” e “coroa”) e faça três coisas:
  • (a) Construir o espaço amostral (ou seja, listar todos os resultados possíveis do experimento conjunto).
  • (b) Enumerar (listar os elementos de) os eventos dados: A=\{\text{coroa, marcado com número par}\}ú
B=\{\text{cara, marcado com número ímpar}\}úí
C=\{\text{múltiplo de 3}\}ú
Observação: cada evento corresponde a um conjunto de resultados do par (número do dado, face da moeda).
  • (c) Expressar/achar:
    I) \overline{B} (complemento de B),
    II) A ou B (ou seja, A\cup B),
    III) \overline{A\cup B},
    IV) Verificar, dois a dois, se A, B e C são mutuamente exclusivos (isto é, verificar se as interseções par a par são vazias) e dizer quais pares são mutuamente exclusivos.
Informações relevantes dadas:
  • O dado tem as faces \{1,2,3,4,5,6\}.
  • A moeda tem as faces \{\text{cara},\text{coroa}\}.
  • Presume-se que os lançamentos são independentes e que todos os pares possíveis são possíveis (sem outra restrição).

Passo 2

Construção do espaço amostral: quando temos dois experimentos independentes (a face do dado e a face da moeda), o espaço amostral é o produto cartesiano das possíveis faces do dado com as faces da moeda. Ou seja, cada resultado é um par ordenado (\text{número do dado},\text{face da moeda})ú.
Explicação rápida do conceito: produto cartesiano significa que para cada número do dado podemos ter cada uma das faces da moeda; assim o número total de resultados é 6\times 2=12. Agora listamos todos os resultados.
\Omega = \{(1,\text{cara}),(1,\text{coroa}),(2,\text{cara}),(2,\text{coroa}),(3,\text{cara}),(3,\text{coroa}),
(4,\text{cara}),(4,\text{coroa}),(5,\text{cara}),(5,\text{coroa}),(6,\text{cara}),(6,\text{coroa})\}

Passo 3

Interpretando os eventos e construindo-os elementarmente:
  • Evento \,A=\{\text{coroa, marcado com número par}\}ú: isto significa que queremos todos os resultados em que a moeda deu \text{coroa} e o dado deu um número par. Os números pares do dado são \{2,4,6\}. Portanto, os elementos de A são os pares com esses números e \text{coroa}.
A = \{(2,\text{coroa}),(4,\text{coroa}),(6,\text{coroa})\}
  • Evento \,B=\{\text{cara, marcado com número ímpar}\}úí: números ímpares do dado são \{1,3,5\}. Queremos \text{cara} na moeda e número ímpar no dado.
B = \{(1,\text{cara}),(3,\text{cara}),(5,\text{cara})\}
  • Evento \,C=\{\text{múltiplo de 3}\}ú: isto refere-se ao número do dado ser múltiplo de 3. Os múltiplos de 3 entre 1 e 6 são \{3,6\}. O enunciado não condiciona a face da moeda, então qualquer face da moeda é aceitável quando o dado é 3 ou 6.
C = \{(3,\text{cara}),(3,\text{coroa}),(6,\text{cara}),(6,\text{coroa})\}

Passo 4

I) Cálculo do complemento de \,B, ou seja \overline{B}.
Definição usada: o complemento de um evento B é o conjunto de todos os resultados do espaço amostral que não pertencem a B. Assim \overline{B} = \Omega \setminus B.
Como B = \{(1,\text{cara}),(3,\text{cara}),(5,\text{cara})\}, retiramos esses elementos de \Omega. Os elementos restantes são:
\overline{B}=\{(1,\text{coroa}),(2,\text{cara}),(2,\text{coroa}),(3,\text{coroa}),(4,\text{cara}),(4,\text{coroa}),(5,\text{coroa}),(6,\text{cara}),(6,\text{coroa})\}
Explicação amigável: são todos os 12 resultados menos os 3 em que há \text{cara} com número ímpar.

Passo 5

II) Cálculo de A ou B, isto é A\cup B.
Definição usada: A\cup B é o conjunto de resultados que pertencem a A ou a B (ou a ambos). Como listamos A e B e eles não têm elementos em comum (veremos isso formalmente depois), o união é simplesmente a reunião dos elementos de A e B.
A\cup B = \{(2,\text{coroa}),(4,\text{coroa}),(6,\text{coroa}),(1,\text{cara}),(3,\text{cara}),(5,\text{cara})\}
Observação prática: são exatamente os 3 pares “coroa + número par” e os 3 pares “cara + número ímpar”, totalizando 6 resultados.

Passo 6

III) Cálculo de \overline{A\cup B}, o complemento da união.
Definição usada: \overline{A\cup B} = \Omega \setminus (A\cup B). Ou seja, todos os resultados que não estão nem em A nem em B.
Já que A\cup B tem os 6 elementos listados no passo anterior, removemos esses da \Omega. Os resultados restantes (os 6 que não estavam em A\cup B) são:
\overline{A\cup B} = \{(1,\text{coroa}),(2,\text{cara}),(2,\text{coroa}),(3,\text{coroa}),(4,\text{cara}),(5,\text{coroa}),(6,\text{cara}),(6,\text{coroa})\}
Observação: contei e são 12-6=6 elementos. (Se quiser conferir, veja que entre estes estão, por exemplo, (3,\text{coroa}) e (6,\text{cara}), que não pertencem a A nem a B.)
(Aviso: conferi os elementos um a um para não esquecer nenhum.)

Passo 7

IV) Verificação dois a dois das interseções e conclusão sobre mutual exclusividade.
Definição usada: dois eventos X e Y são mutuamente exclusivos se X\cap Y=\varnothing (interseção vazia), ou seja, não existe nenhum resultado que satisfaça simultaneamente as condições de X e de Y.
Calculemos as interseções:
  • \,A\cap B:
Como A exige \text{coroa} na moeda e B exige \text{cara}, não há resultado que tenha ao mesmo tempo \text{coroa} e \text{cara}. Logo
A\cap B = \varnothing.
Conclusão: A e B são mutuamente exclusivos.
  • \,A\cap C:
Vamos comparar os elementos: A=\{(2,\text{coroa}),(4,\text{coroa}),(6,\text{coroa})\} e C=\{(3,\text{cara}),(3,\text{coroa}),(6,\text{cara}),(6,\text{coroa})\}. O elemento comum é (6,\text{coroa}) (pois 6 é par e múltiplo de 3, e a moeda é \text{coroa}).
A\cap C = \{(6,\text{coroa})\} \neq \varnothing.
Conclusão: A e C não são mutuamente exclusivos.
  • \,B\cap C:
Comparando B=\{(1,\text{cara}),(3,\text{cara}),(5,\text{cara})\} com C, vemos que (3,\text{cara}) está em ambas (pois 3 é múltiplo de 3 e em B temos \text{cara} com o número 3).
B\cap C = \{(3,\text{cara})\} \neq \varnothing.
Conclusão: B e C não são mutuamente exclusivos.
Resumo final desta verificação: somente o par \,A e \,B é mutuamente exclusivo; os pares (A,C) e (B,C) não são mutuamente exclusivos porque compartilham elementos.

Resposta

a) \Omega=\{(1,\text{cara}),(1,\text{coroa}),(2,\text{cara}),(2,\text{coroa}),(3,\text{cara}),(3,\text{coroa}),(4,\text{cara}),(4,\text{coroa}),(5,\text{cara}),(5,\text{coroa}),(6,\text{cara}),(6,\text{coroa})\}
b) \;A=\{(2,\text{coroa}),(4,\text{coroa}),(6,\text{coroa})\}
\;B=\{(1,\text{cara}),(3,\text{cara}),(5,\text{cara})\}
\;C=\{(3,\text{cara}),(3,\text{coroa}),(6,\text{cara}),(6,\text{coroa})\}
c) I) \overline{B}=\{(1,\text{coroa}),(2,\text{cara}),(2,\text{coroa}),(3,\text{coroa}),(4,\text{cara}),(4,\text{coroa}),(5,\text{coroa}),(6,\text{cara}),(6,\text{coroa})\}
II) A\cup B=\{(2,\text{coroa}),(4,\text{coroa}),(6,\text{coroa}),(1,\text{cara}),(3,\text{cara}),(5,\text{cara})\}
III) \overline{A\cup B}=\{(1,\text{coroa}),(2,\text{cara}),(2,\text{coroa}),(3,\text{coroa}),(4,\text{cara}),(5,\text{coroa}),(6,\text{cara}),(6,\text{coroa})\}
IV) Pares mutuamente exclusivos: apenas A e B são mutuamente exclusivos. A e C não são mutuamente exclusivos ( A\cap C=\{(6,\text{coroa})\}). B e C não são mutuamente exclusivos ( B\cap C=\{(3,\text{cara})\}).

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