lista de probabilidade
Primeira parte- Definição axiomática. Para todos os exercícios:
é espaço amostral,
é
-álgebra de eventos e
probailidade
Sejam
. Mostre que:
Primeira parte- Definição axiomática. Para todos os exercícios:
Sejam
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
é o espaço amostral, é uma -álgebra de eventos e é uma probabilidade definida sobre . -
são eventos quaisquer.
O que pede: mostrar a desigualdade
Passo 2
Lembretes de propriedades básicas de probabilidade que vamos usar (explicadinhos):
- Para todo evento
vale . Isso vem da não-negatividade e da normalização . - Complemento: para um evento
, . Pela normalização e aditividade em dois conjuntos complementares:
portanto
- União e interseção: para dois eventos
e vale a fórmula de inclusão-exclusão
Como
, disso segue imediatamente que
Esta última desigualdade é a versão simples para dois conjuntos da chamada desigualdade de Boole (ou subaditividade) que vamos estender para
eventos.
Passo 3
Provar a desigualdade de Boole (união) para
conjuntos por indução — é um resultado chave que usaremos.
Base
: trivial,
.
Caso
: já vimos que
Passo indutivo: suponha que para
eventos vale
Considere
eventos. Use a desigualdade para a união de dois conjuntos com
e
:
Aplicando a hipótese indutiva em
obtemos
Logo, por indução, para todo
vale a desigualdade de Boole:
Passo 4
Agora aplicamos isso aos complementos. Primeiro use a Lei de De Morgan (identidade de conjuntos):
Aplicando a função probabilidade e a propriedade do complemento
, obtemos
Passo 5
Usamos a desigualdade de Boole (Passo 3) para a união dos complementos:
Substituindo na expressão do Passo 4:
E essa é exatamente a desigualdade pedida.
Passo 6
Pequeno exemplo numérico para fixar a intuição (opcional, só para ver como usar): suponha
e
,
,
. A desigualdade diz que
Ou seja, mesmo sem conhecer dependências entre os eventos, podemos garantir que a probabilidade de todos ocorrerem é ao menos
.