lista de probabilidade
Primeira parte- Definição axiomática. Para todos os exercícios:
\Omega é espaço amostral, A é \sigma-álgebra de eventos e p probailidade
Sejam A_{1}, A_{2}, \ldots A_{n} \in A. Mostre que:
p\left(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\right) \geq 1-\sum_{k=1}^{n} p\left(A_{k}^{c}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • \Omega é o espaço amostral, A é uma \sigma-álgebra de eventos e p é uma probabilidade definida sobre A.
  • A_{1},A_{2},\dots,A_{n}\in A são eventos quaisquer.
O que pede: mostrar a desigualdade
p\!\left(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\right) \geq 1-\sum_{k=1}^{n} p\!\left(A_{k}^{c}\right).

Passo 2

Lembretes de propriedades básicas de probabilidade que vamos usar (explicadinhos):
  • Para todo evento E vale 0\le p(E)\le 1. Isso vem da não-negatividade e da normalização p(\Omega)=1.
  • Complemento: para um evento E, E^{c}=\Omega\setminus E. Pela normalização e aditividade em dois conjuntos complementares:
p(E)+p(E^{c})=p(\Omega)=1,
portanto
p(E^{c})=1-p(E).
  • União e interseção: para dois eventos X e Y vale a fórmula de inclusão-exclusão
p(X\cup Y)=p(X)+p(Y)-p(X\cap Y).
Como p(X\cap Y)\ge 0, disso segue imediatamente que
p(X\cup Y)\le p(X)+p(Y).
Esta última desigualdade é a versão simples para dois conjuntos da chamada desigualdade de Boole (ou subaditividade) que vamos estender para n eventos.

Passo 3

Provar a desigualdade de Boole (união) para n conjuntos por indução — é um resultado chave que usaremos.
Base n=1: trivial, p(A_1)=p(A_1).
Caso n=2: já vimos que
p(A_1\cup A_2)=p(A_1)+p(A_2)-p(A_1\cap A_2)\le p(A_1)+p(A_2).
Passo indutivo: suponha que para n-1 eventos vale
p\!\left(\bigcup_{k=1}^{\,n-1} A_k\right)\le \sum_{k=1}^{\,n-1} p(A_k).
Considere n eventos. Use a desigualdade para a união de dois conjuntos com X=\bigcup_{k=1}^{\,n-1} A_k e Y=A_n:
p\!\left(\bigcup_{k=1}^{n} A_k\right)=p(X\cup Y)\le p(X)+p(Y).
Aplicando a hipótese indutiva em p(X) obtemos
p\!\left(\bigcup_{k=1}^{n} A_k\right)\le \sum_{k=1}^{n-1} p(A_k)+p(A_n)=\sum_{k=1}^{n} p(A_k).
Logo, por indução, para todo n vale a desigualdade de Boole:
p\!\left(\bigcup_{k=1}^{n} A_k\right)\le \sum_{k=1}^{n} p(A_k).

Passo 4

Agora aplicamos isso aos complementos. Primeiro use a Lei de De Morgan (identidade de conjuntos):
\bigcap_{k=1}^{n} A_k = \left(\bigcup_{k=1}^{n} A_k^{c}\right)^{c}.
Aplicando a função probabilidade e a propriedade do complemento p(E^{c})=1-p(E), obtemos
p\!\left(\bigcap_{k=1}^{n} A_k\right)=1-p\!\left(\bigcup_{k=1}^{n} A_k^{c}\right).

Passo 5

Usamos a desigualdade de Boole (Passo 3) para a união dos complementos:
p\!\left(\bigcup_{k=1}^{n} A_k^{c}\right)\le \sum_{k=1}^{n} p\!\left(A_k^{c}\right).
Substituindo na expressão do Passo 4:
p\!\left(\bigcap_{k=1}^{n} A_k\right)=1-p\!\left(\bigcup_{k=1}^{n} A_k^{c}\right)\ge 1-\sum_{k=1}^{n} p\!\left(A_k^{c}\right).
E essa é exatamente a desigualdade pedida.

Passo 6

Pequeno exemplo numérico para fixar a intuição (opcional, só para ver como usar): suponha n=3 e p(A_1^{c})=0{,}1, p(A_2^{c})=0{,}2, p(A_3^{c})=0{,}05. A desigualdade diz que
p(A_1\cap A_2\cap A_3)\ge 1-(0{,}1+0{,}2+0{,}05)=0{,}65.
Ou seja, mesmo sem conhecer dependências entre os eventos, podemos garantir que a probabilidade de todos ocorrerem é ao menos 0{,}65.

Resposta

p\!\left(\bigcap_{k=1}^{n} A_{k}\right) \geq 1-\sum_{k=1}^{n} p\!\left(A_{k}^{c}\right)

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