Questão 05 - Calcule o trabalho realizado pela força
ao longo da curva
de
até
.
Passo 1
O enunciado pede: calcular o trabalho realizado pela força
ao longo da curva
desde o ponto
até o ponto
.
Informações dadas:
- A força em cada ponto é
. - A trajetória é a curva
que vai de até (porque em temos ). - Os pontos inicial e final são
e .
O que se deve encontrar: o valor numérico do trabalho realizado por
ao longo dessa curva.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula pequena): o trabalho realizado por uma força variável
ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha
Explicando cada símbolo:
-
é a força em cada ponto . -
é um vetor deslocamento infinitesimal ao longo da curva; se paramos a curva por , então . - O produto escalar
mede a componente da força na direção do deslocamento (só essa componente realiza trabalho).
Lembrete sobre produto escalar em coordenadas: se
e
, então
Isso é o que vamos aplicar.
Passo 3
Escolha da parametrização (passo prático): como a curva é dada por
e os pontos têm
entre
e
, uma parametrização simples é usar
para representar
:
Definimos então o vetor posição
Derivando em relação a
obtemos o vetor velocidade (ou diferencial de posição)
Justificativa: esta parametrização é direta e fácil de integrar — por isso a escolhi. É o método mais elementar e seguro para esse tipo de problema.
Passo 4
Substituir a parametrização na força e computar o produto escalar:
A força ao longo da curva, escrita em função de , é
A força ao longo da curva, escrita em função de
Agora fazemos o produto escalar com
:
Usando a definição do produto escalar (somar produtos das componentes):
Passo 5
Montar a integral do trabalho e integrar passo a passo:
Pelo método paramétrico,
Pelo método paramétrico,
Integramos termo a termo. Primeiro, lembretes de integrais básicas:
Portanto,
Passo 6
Avaliar a primitiva nos limites
e
:
Calcule em
:
Em
dá
. Logo o trabalho é
.
Passo 7
Verificação alternativa (ideia útil para provas): reconhecer que
é um campo conservativo. Se existe uma função escalar
tal que
, então o trabalho é simplesmente
(não depende do caminho). Para este campo,
procure satisfazendo
e
. Integrando
em
obtemos
procure
e diferenciando em
deve dar
, então
e
. Assim uma potencial é
Então
confirmação do resultado anterior. Observação: usar potencial é mais rápido quando o campo é conservativo; parametrização é a técnica básica que sempre funciona.