Questão 05 - Calcule o trabalho realizado pela força \vec{F}(x, y)=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath} ao longo da curva y=x^{2} de \mathrm{A}(0,0) até \mathrm{B}(2,4).

Passo 1

O enunciado pede: calcular o trabalho realizado pela força \vec{F}(x,y)=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath} ao longo da curva y=x^{2} desde o ponto A(0,0) até o ponto B(2,4).
Informações dadas:
  • A força em cada ponto é \vec{F}(x,y)=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}.
  • A trajetória é a curva y=x^{2} que vai de x=0 até x=2 (porque em x=2 temos y=2^{2}=4).
  • Os pontos inicial e final são A(0,0) e B(2,4).
O que se deve encontrar: o valor numérico do trabalho realizado por \vec{F} ao longo dessa curva.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula pequena): o trabalho realizado por uma força variável \vec{F} ao longo de uma curva C é dado pela integral de linha
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
Explicando cada símbolo:
  • \vec{F} é a força em cada ponto (x,y).
  • d\vec{r} é um vetor deslocamento infinitesimal ao longo da curva; se paramos a curva por t, então d\vec{r}=\vec{r}\,'(t)\,dt.
  • O produto escalar \vec{F}\cdot d\vec{r} mede a componente da força na direção do deslocamento (só essa componente realiza trabalho).
Lembrete sobre produto escalar em coordenadas: se \vec{a}=(a_x,a_y) e \vec{b}=(b_x,b_y), então
\vec{a}\cdot\vec{b}=a_x b_x + a_y b_y.
Isso é o que vamos aplicar.

Passo 3

Escolha da parametrização (passo prático): como a curva é dada por y=x^{2} e os pontos têm x entre 0 e 2, uma parametrização simples é usar t para representar x:
x=t,\qquad y=t^{2},\qquad 0\le t\le 2.
Definimos então o vetor posição
\vec{r}(t)=t\,\vec{\imath}+t^{2}\,\vec{\jmath}.
Derivando em relação a t obtemos o vetor velocidade (ou diferencial de posição)
\vec{r}\,'(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{\imath}+2t\,\vec{\jmath}.
Justificativa: esta parametrização é direta e fácil de integrar — por isso a escolhi. É o método mais elementar e seguro para esse tipo de problema.

Passo 4

Substituir a parametrização na força e computar o produto escalar:
A força ao longo da curva, escrita em função de t, é
\vec{F}(\vec{r}(t))=x(t)\,\vec{\imath}+y(t)\,\vec{\jmath}=t\,\vec{\imath}+t^{2}\,\vec{\jmath}.
Agora fazemos o produto escalar com \vec{r}\,'(t):
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=\big(t\,\vec{\imath}+t^{2}\,\vec{\jmath}\big)\cdot\big(\vec{\imath}+2t\,\vec{\jmath}\big).
Usando a definição do produto escalar (somar produtos das componentes):
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}\,'(t)=t\cdot 1 + t^{2}\cdot(2t)=t+2t^{3}.

Passo 5

Montar a integral do trabalho e integrar passo a passo:
Pelo método paramétrico,
W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{t=0}^{t=2}\big(t+2t^{3}\big)\,dt.
Integramos termo a termo. Primeiro, lembretes de integrais básicas:
\int t\,dt=\frac{1}{2}t^{2},\qquad \int t^{3}\,dt=\frac{1}{4}t^{4}.
Portanto,
\int\big(t+2t^{3}\big)\,dt=\frac{1}{2}t^{2}+2\cdot\frac{1}{4}t^{4}=\frac{1}{2}t^{2}+\frac{1}{2}t^{4}.

Passo 6

Avaliar a primitiva nos limites 0 e 2:
W=\left[\frac{1}{2}t^{2}+\frac{1}{2}t^{4}\right]_{0}^{2}.
Calcule em t=2:
\frac{1}{2}\cdot 2^{2}+\frac{1}{2}\cdot 2^{4}=\frac{1}{2}\cdot 4+\frac{1}{2}\cdot 16=2+8=10.
Em t=0 0. Logo o trabalho é 10.

Passo 7

Verificação alternativa (ideia útil para provas): reconhecer que \vec{F} é um campo conservativo. Se existe uma função escalar \varphi(x,y) tal que \nabla\varphi=\vec{F}, então o trabalho é simplesmente \varphi(B)-\varphi(A) (não depende do caminho). Para este campo,
procure \varphi satisfazendo \phi_x=x e \phi_y=y. Integrando \phi_x=x em x obtemos
\varphi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}+g(y),
e diferenciando em y deve dar \phi_y=y, então g'(y)=y e g(y)=\frac{1}{2}y^{2}+C. Assim uma potencial é
\varphi(x,y)=\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{2}y^{2}.
Então
W=\varphi(2,4)-\varphi(0,0)=\frac{1}{2}(2^{2}+4^{2})-0=\frac{1}{2}(4+16)=\frac{20}{2}=10,
confirmação do resultado anterior. Observação: usar potencial é mais rápido quando o campo é conservativo; parametrização é a técnica básica que sempre funciona.

Resposta

10

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