Mostre que toda função uniformemente contínua num conjunto limitado é limitada.
Passo 1
O enunciado quer que a gente prove que, se é um conjunto limitado (ou seja, está contido num raio finito de um espaço métrico) e
é uniformemente contínua, então também é limitado.
Conteúdo: usamos a definição de uniforme continuidade e a ideia de cobertura finita (totally bounded) para mostrar que a imagem fica contida num intervalo de .
Passo 2
Pela uniforme continuidade de , para existe tal que, para quaisquer ,
Passo 3
Como X é limitado em um espaço métrico e a condição de uniforme continuidade exige only esse espaço ser totalmente limitado (o que vale em R^n, por exemplo), podemos cobrir X com um número finito de bolas de raio de<a. Logo, existem pontos x1,dots,xNin X tais que
X ;subset; cupi=1^N B(xi,de<a)
Passo 4
Defina
M ;=;max1<= i<= Nl|f(xi)r|
Esse máximo existe porque são apenas N valores reais. Agora, dado qualquer xin X, existe i com dX(x,xi)<de<a, e então
l|f(x)r| ;<=; l|f(x)-f(xi)r|+l|f(xi)r| ;<; 1 + M
Portanto, para todo xin X vale lvert f(x)rvert< M+1.
Resposta
Portanto f(X) está contido no intervalo l[-(M+1),,M+1r], ou seja, f é limitada.