Mostre que toda função uniformemente contínua f: X R num conjunto limitado X é limitada.

Passo 1

O enunciado quer que a gente prove que, se X é um conjunto limitado (ou seja, está contido num raio finito de um espaço métrico) e
f: X to R
é uniformemente contínua, então f(X)subsetR também é limitado.
Conteúdo: usamos a definição de uniforme continuidade e a ideia de cobertura finita (totally bounded) para mostrar que a imagem fica contida num intervalo de R.

Passo 2

Pela uniforme continuidade de f, para varepsilon=1 existe de<a>0 tal que, para quaisquer x,yin X,
dX(x,y)<de<a Longrightarrow l|f(x)-f(y)r|<1

Passo 3

Como X é limitado em um espaço métrico e a condição de uniforme continuidade exige only esse espaço ser totalmente limitado (o que vale em R^n, por exemplo), podemos cobrir X com um número finito de bolas de raio de<a. Logo, existem pontos x1,dots,xNin X tais que
X ;subset; cupi=1^N B(xi,de<a)

Passo 4

Defina
M ;=;max1<= i<= Nl|f(xi)r|
Esse máximo existe porque são apenas N valores reais. Agora, dado qualquer xin X, existe i com dX(x,xi)<de<a, e então
l|f(x)r| ;<=; l|f(x)-f(xi)r|+l|f(xi)r| ;<; 1 + M
Portanto, para todo xin X vale lvert f(x)rvert< M+1.

Resposta

Portanto f(X) está contido no intervalo l[-(M+1),,M+1r], ou seja, f é limitada.

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