4 Uma lanterna de 3V/0,25A converte 1% da potência elétrica consumida em luz ( \lambda=550 \mathrm{~nm} ). Sabe-se que o feixe de luz tem uma seção transversal de 10 \mathrm{~cm}^{2} e é aproximadamente cilíndrico. Calcule:
a) quantos fótons são emitidos por segundo;
b) quantos fótons ocupam cada metro cúbico do feixe;
c) qual é a irradiância do feixe ao ser emitido pela lanterna.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma lanterna que funciona com tensão de 3,V e corrente de 0{,}25,A, converte 1\% da potência elétrica em luz de comprimento de onda \lambda=550 nm. O feixe é cilíndrico, com área de seção transversal 10 cm ^2. Vamos usar contagem de fótons, densidade de fótons em volume e irradiância (fluxo por área).

Passo 2

Calcular a potência elétrica e a potência luminosa:
P_{\rm elec}=V\cdot I=3\\ \text{V}\times0{,}25\\ \text{A}=0{,}75\\ \text{W}.
Como apenas 1\% vira luz,
P_{\rm luz}=0{,}01\times P_{\rm elec}=0{,}01\times0{,}75=0{,}0075\\ \text{W}.

Passo 3

Energia de um fóton de comprimento de onda \lambda:
E_{\rm f}=\frac{h\,c}{\lambda},
onde h=6{,}63\times10^{-34}, J\cdot s, c=3{,}0\times10^8,m/s e \lambda=550\times10^{-9},m. Logo,
E_{\rm f}=\frac{6{,}63\times10^{-34}\times3{,}0\times10^8}{550\times10^{-9}} \approx3{,}6\times10^{-19}\\ \text{J}.
O número de fótons emitidos por segundo é
N=\frac{P_{\rm luz}}{E_{\rm f}} =\frac{0{,}0075}{3{,}6\times10^{-19}} \approx2{,}1\times10^{16}\\ \text{fótons/s}.ó

Passo 4

Densidade de fótons (fótons por m ^3) no feixe: no intervalo de 1 s, os fótons ocupam um cilindro de volume
V_{\rm cil}=A\cdot c\cdot1\,\text{s},
com A=10\\ \text{cm}^2=1{,}0\times10^{-3},m ^2. Assim,
V_{\rm cil}=1{,}0\times10^{-3}\times3{,}0\times10^8 =3{,}0\times10^5\\ \text{m}^3.
Então a densidade é
n=\frac{N}{V_{\rm cil}} \approx\frac{2{,}1\times10^{16}}{3{,}0\times10^5} \approx7,0\times10^{10}\\ \text{fótons/m}^3.ó

Passo 5

Irradiância do feixe ao ser emitido: é a potência por área,
E_{\rm rad}=\frac{P_{\rm luz}}{A} =\frac{0{,}0075\\ \text{W}}{1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}^2} =7{,}5\\ \text{W/m}^2.

Resposta

a) 2,1\times10^{16} fótons/s
b) 7,0\times10^{10} fótons/m ^3
c) 7{,}5 W/m ^2

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