A large tank truck overturns and spills a herbicide over a field. The fluid remains on the soil 30 min before evaporating into the atmosphere. Simplify the general differential equation for the mass transfer of the herbicide to write the following:
a. the steady-state differential equation that will describe the evaporation of the herbicide into the air;
b. the differential equation that will describe the diffusion of the herbicide into the soil.
a. the steady-state differential equation that will describe the evaporation of the herbicide into the air;
b. the differential equation that will describe the diffusion of the herbicide into the soil.
Passo 1
O enunciado diz que um caminhão-tanque tombou e derramou herbicida sobre um campo; o fluido permanece sobre o solo por 30 minutos antes de evaporar para a atmosfera. Ele pede duas coisas:
- a equação diferencial no regime de estado estacionário que descreve a evaporação do herbicida para o ar;
- a equação diferencial que descreve a difusão do herbicida para dentro do solo.
Informações relevantes (explicitadas para evitar confusões):
- O problema envolve transporte de massa do herbicida em duas regiões distintas: a fase gasosa acima do solo (evaporação) e a zona porosa do solo (difusão para baixo).
- Devemos partir de uma forma geral da conservação de massa e simplificá‑la para cada caso.
- Não foi dada uma geometria explícita, então usaremos a forma mais simples (uma dimensão vertical
) quando conveniente, mas mostrarei também as formas vetoriais gerais. - Não foram fornecidos valores numéricos nem condições de contorno; pedem somente as equações diferenciais simplificadas (não a solução).
Passo 2
Escrevendo a equação geral de conservação de massa para uma espécie (herbicida) numa região contínua. Começamos pela balança de massa numa pequena região do fluido: taxa de acúmulo = fluxo líquido que entra + fontes/sumidouros. Isso leva à forma diferencial geral:
onde:
-
é a concentração do herbicida (por ex. massa por volume) em função da posição e do tempo ; -
é o fluxo de massa do herbicida (massa por área por tempo); -
é termo de reação/ fonte (massa por volume por tempo), que pode representar geração química, etc. No nosso caso de transporte sem reação química .
Para relacionar o fluxo com a concentração usamos uma expressão padrão (adição de difusão e advecção):
Explicação dos termos:
-
é a contribuição difusiva (Lei de Fick). é o coeficiente de difusão (m^2/s). Fick diz: o fluxo difusivo vai da região de maior concentração para menor; o sinal negativo garante isso. -
é o transporte por advecção (arraste pela velocidade do fluido , em m/s). Se não houver movimento de massa líquido/gasoso, .
Substituindo
na conservação obtemos a equação advecção‑difusão geral:
Outra forma útil, expandindo o divergente (assumindo
constante espacialmente para simplificar) é:
Aqui
é o laplaciano espacial. Essa é a equação-pai que vamos simplificar para cada situação.
Passo 3
Simplificações físicas para a evaporação do herbicida na atmosfera (parte a)):
- O enunciado pede explicitamente o caso estacionário (estado estacionário): isso significa que as propriedades não mudam no tempo no domínio de interesse, logo
. - Em muitos problemas de evaporação de uma fina película sobre o solo, se quisermos a forma mais simples, podemos assumir que o transporte na camada de ar acima é dominado por difusão molecular (ou por difusão turbulenta que pode ser representada por um coeficiente efetivo de difusão
) e não considerar fontes internas no ar ( ). Se houver vento significativo, teria que manter o termo de advecção; aqui vamos apresentar a forma estacionária sem advecção e também a forma com advecção, para maior clareza. - Assumimos coeficiente de difusão do vapor no ar
constante (simplificação comum).
Aplicando
e
na equação geral e supondo
(sem advecção), obtemos a equação de estado estacionário puramente difusiva:
Se considerarmos uma aproximação unidimensional vertical
(concentração varia principalmente com a altura acima do solo) temos a forma 1D:
Se adicionalmente
é constante na região considerada, a equação simplifica para:
ou, dividindo por
,
Interpretação e condições típicas (não pedidas para resolver, mas úteis para entender): a solução dessa equação em 1D é linear em
. As condições de contorno típicas seriam
(concentração de vapor na interface solo-ar igual àquela em equilíbrio com a fase líquida) e
(concentração de fundo, tipicamente muito baixa).
Se quisermos manter advecção por vento
na vertical em regime estacionário, a equação estacionária seria
ou em 1D com
constante,
Mas a forma mais simples e frequentemente usada (sem vento ou com transporte turbulento representado por
) é a equação laplaciana mostrada acima.
Passo 4
Simplificações para a difusão do herbicida para dentro do solo (parte b)):
- O solo é um meio poroso: parte do herbicida fica dissolvida na fase aquosa dentro dos poros e parte pode ficar adsorvida nas partículas sólidas. O transporte efetivo é controlado pela porosidade, coeficiente de difusão efetivo, e sorção.
- Em vez de usar apenas a forma simples de Fick num meio contínuo, a versão apropriada para meios porosos inclui a porosidade
(fração de volume ocupada por poros) e a densidade de sólidos do solo (massa de sólidos por volume de meio úmido). Além disso, a sorção é frequentemente descrita por uma isoterma linear , onde é a concentração sorvida (massa sorvida por massa de sólido) e é o coeficiente de partição (L kg^{-1} ou similar).
Escrever a balança de massa para o sistema água+fases sorvidas dá:
Aqui:
-
é o coeficiente de difusão efetivo no meio poroso (m^2/s), que incorpora caminhos tortuosos e fracionamento pela água nos poros; - o membro esquerdo representa a taxa de acumulação total por volume de solo (na fase aquosa e na fase sorvida).
Se adotarmos a isoterma linear
e não houver fontes internas, então
Agrupando o termo temporal:
É comum definir o fator de retardação
(retardation factor) como
ou usar a forma com
:
Dividindo a equação anterior por
e usando
obtemos a forma frequentemente mostrada:
Em 1D vertical (variação principal com
) e assumindo
constante, a equação fica:
Se o herbicida não sofrer sorção significativa (ou
), então
e recuperamos a forma simples de Fick:
Passo 5
Resumo didático (o que cada equação significa e quando usar):
- Para a evaporação no ar pediram o caso estacionário: isso elimina o termo
e deixa uma equação de equilíbrio espacial para o transporte por difusão (ou por advecção+difusão se o vento for importante). A forma 1D com difusão constante é — solução linear. - Para a difusão no solo o processo é tipicamente transiente (varia no tempo) e o meio poroso exige incluir porosidade, difusão efetiva e possível sorção. A forma mais completa e ainda simples é a equação com fator de retardação
: .
Resposta
(a)
se
constante:
)\n
(b)
se
constante:
).
(b)