A large tank truck overturns and spills a herbicide over a field. The fluid remains on the soil 30 min before evaporating into the atmosphere. Simplify the general differential equation for the mass transfer of the herbicide to write the following:
a. the steady-state differential equation that will describe the evaporation of the herbicide into the air;
b. the differential equation that will describe the diffusion of the herbicide into the soil.

Passo 1

O enunciado diz que um caminhão-tanque tombou e derramou herbicida sobre um campo; o fluido permanece sobre o solo por 30 minutos antes de evaporar para a atmosfera. Ele pede duas coisas:
  1. a equação diferencial no regime de estado estacionário que descreve a evaporação do herbicida para o ar;
  2. a equação diferencial que descreve a difusão do herbicida para dentro do solo.
Informações relevantes (explicitadas para evitar confusões):
  • O problema envolve transporte de massa do herbicida em duas regiões distintas: a fase gasosa acima do solo (evaporação) e a zona porosa do solo (difusão para baixo).
  • Devemos partir de uma forma geral da conservação de massa e simplificá‑la para cada caso.
  • Não foi dada uma geometria explícita, então usaremos a forma mais simples (uma dimensão vertical z) quando conveniente, mas mostrarei também as formas vetoriais gerais.
  • Não foram fornecidos valores numéricos nem condições de contorno; pedem somente as equações diferenciais simplificadas (não a solução).

Passo 2

Escrevendo a equação geral de conservação de massa para uma espécie (herbicida) numa região contínua. Começamos pela balança de massa numa pequena região do fluido: taxa de acúmulo = fluxo líquido que entra + fontes/sumidouros. Isso leva à forma diferencial geral:
\frac{\partial C}{\partial t} + \nabla\cdot\mathbf{J} = R
onde:
  • C(\mathbf{x},t) é a concentração do herbicida (por ex. massa por volume) em função da posição \mathbf{x} e do tempo t;
  • \mathbf{J} é o fluxo de massa do herbicida (massa por área por tempo);
  • R é termo de reação/ fonte (massa por volume por tempo), que pode representar geração química, etc. No nosso caso de transporte sem reação química R=0.
Para relacionar o fluxo com a concentração usamos uma expressão padrão (adição de difusão e advecção):
\mathbf{J} = -D\nabla C + \mathbf{v}C.
Explicação dos termos:
  • -D\nabla C é a contribuição difusiva (Lei de Fick). D é o coeficiente de difusão (m^2/s). Fick diz: o fluxo difusivo vai da região de maior concentração para menor; o sinal negativo garante isso.
  • \mathbf{v}C é o transporte por advecção (arraste pela velocidade do fluido \mathbf{v}, em m/s). Se não houver movimento de massa líquido/gasoso, \mathbf{v}=0.
Substituindo \mathbf{J} na conservação obtemos a equação advecção‑difusão geral:
\frac{\partial C}{\partial t} + \nabla\cdot(-D\nabla C + \mathbf{v}C) = R.
Outra forma útil, expandindo o divergente (assumindo D constante espacialmente para simplificar) é:
\frac{\partial C}{\partial t} + \mathbf{v}\cdot\nabla C = D\nabla^2 C + R.
Aqui \nabla^2 é o laplaciano espacial. Essa é a equação-pai que vamos simplificar para cada situação.

Passo 3

Simplificações físicas para a evaporação do herbicida na atmosfera (parte a)):
  • O enunciado pede explicitamente o caso estacionário (estado estacionário): isso significa que as propriedades não mudam no tempo no domínio de interesse, logo \displaystyle \frac{\partial C}{\partial t}=0.
  • Em muitos problemas de evaporação de uma fina película sobre o solo, se quisermos a forma mais simples, podemos assumir que o transporte na camada de ar acima é dominado por difusão molecular (ou por difusão turbulenta que pode ser representada por um coeficiente efetivo de difusão D_g) e não considerar fontes internas no ar ( R=0). Se houver vento significativo, teria que manter o termo de advecção; aqui vamos apresentar a forma estacionária sem advecção e também a forma com advecção, para maior clareza.
  • Assumimos coeficiente de difusão do vapor no ar D_g constante (simplificação comum).
Aplicando \partial C/\partial t=0 e R=0 na equação geral e supondo \mathbf{v}=0 (sem advecção), obtemos a equação de estado estacionário puramente difusiva:
\nabla\cdot\bigl(D_g\nabla C\bigr)=0.
Se considerarmos uma aproximação unidimensional vertical z (concentração varia principalmente com a altura acima do solo) temos a forma 1D:
\frac{d}{dz}\!\left(D_g\frac{dC}{dz}\right)=0.
Se adicionalmente D_g é constante na região considerada, a equação simplifica para:
D_g\frac{d^2C}{dz^2}=0
ou, dividindo por D_g,
\frac{d^2C}{dz^2}=0.
Interpretação e condições típicas (não pedidas para resolver, mas úteis para entender): a solução dessa equação em 1D é linear em z. As condições de contorno típicas seriam C(0)=C_s (concentração de vapor na interface solo-ar igual àquela em equilíbrio com a fase líquida) e C(z\to\infty)=C_\infty (concentração de fundo, tipicamente muito baixa).
Se quisermos manter advecção por vento \mathbf{v}=(v_z) na vertical em regime estacionário, a equação estacionária seria
\nabla\cdot\bigl(-D_g\nabla C + \mathbf{v}C\bigr)=0,
ou em 1D com v_z constante,
\frac{d}{dz}\!\left(-D_g\frac{dC}{dz}+v_z C\right)=0.
Mas a forma mais simples e frequentemente usada (sem vento ou com transporte turbulento representado por D_g) é a equação laplaciana mostrada acima.

Passo 4

Simplificações para a difusão do herbicida para dentro do solo (parte b)):
  • O solo é um meio poroso: parte do herbicida fica dissolvida na fase aquosa dentro dos poros e parte pode ficar adsorvida nas partículas sólidas. O transporte efetivo é controlado pela porosidade, coeficiente de difusão efetivo, e sorção.
  • Em vez de usar apenas a forma simples de Fick num meio contínuo, a versão apropriada para meios porosos inclui a porosidade \theta (fração de volume ocupada por poros) e a densidade de sólidos do solo \rho_b (massa de sólidos por volume de meio úmido). Além disso, a sorção é frequentemente descrita por uma isoterma linear S=K_d C, onde S é a concentração sorvida (massa sorvida por massa de sólido) e K_d é o coeficiente de partição (L kg^{-1} ou similar).
Escrever a balança de massa para o sistema água+fases sorvidas dá:
\theta\frac{\partial C}{\partial t} + \rho_b \frac{\partial S}{\partial t} = \nabla\cdot\!\left(D_e\nabla C\right) + \text{(fontes/sumidouros)}.
Aqui:
  • D_e é o coeficiente de difusão efetivo no meio poroso (m^2/s), que incorpora caminhos tortuosos e fracionamento pela água nos poros;
  • o membro esquerdo representa a taxa de acumulação total por volume de solo (na fase aquosa e na fase sorvida).
Se adotarmos a isoterma linear S=K_d C e não houver fontes internas, então
\theta\frac{\partial C}{\partial t} + \rho_b K_d \frac{\partial C}{\partial t} = \nabla\cdot\!\left(D_e\nabla C\right).
Agrupando o termo temporal:
\bigl(\theta + \rho_b K_d\bigr)\frac{\partial C}{\partial t} = \nabla\cdot\!\left(D_e\nabla C\right).
É comum definir o fator de retardação R_f (retardation factor) como
R_f = 1 + \frac{\rho_b K_d}{\theta},
ou usar a forma com \theta:
R_f = \frac{\theta + \rho_b K_d}{\theta}.
Dividindo a equação anterior por \theta e usando R_f obtemos a forma frequentemente mostrada:
R_f \frac{\partial C}{\partial t} = \nabla\cdot\!\left(D_e\nabla C\right).
Em 1D vertical (variação principal com z) e assumindo D_e constante, a equação fica:
R_f \frac{\partial C}{\partial t} = D_e \frac{\partial^2 C}{\partial z^2}.
Se o herbicida não sofrer sorção significativa (ou K_d\approx 0), então R_f\approx 1 e recuperamos a forma simples de Fick:
\frac{\partial C}{\partial t} = D_e \frac{\partial^2 C}{\partial z^2}.

Passo 5

Resumo didático (o que cada equação significa e quando usar):
  • Para a evaporação no ar pediram o caso estacionário: isso elimina o termo \partial C/\partial t e deixa uma equação de equilíbrio espacial para o transporte por difusão (ou por advecção+difusão se o vento for importante). A forma 1D com difusão constante é \displaystyle \frac{d^2C}{dz^2}=0 — solução linear.
  • Para a difusão no solo o processo é tipicamente transiente (varia no tempo) e o meio poroso exige incluir porosidade, difusão efetiva e possível sorção. A forma mais completa e ainda simples é a equação com fator de retardação R_f: \displaystyle R_f\frac{\partial C}{\partial t}=D_e\frac{\partial^2 C}{\partial z^2}.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{d}{dz}\!\left(D_g\frac{dC}{dz}\right)=0 \;(se D_g constante: \displaystyle \frac{d^2C}{dz^2}=0)\n
(b) \displaystyle R_f\frac{\partial C}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial z}\!\left(D_e\frac{\partial C}{\partial z}\right) \;(se D_e constante: \displaystyle R_f\frac{\partial C}{\partial t}=D_e\frac{\partial^2C}{\partial z^2}).

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