Questão (vale 1,0 ponto)
Um reservatório metálico (
), de formato esférico, tem diâmetro interno 1.0 m , espessura de 5 mm , e é isolado com 20 mm de fibra de vidro (
). A temperatura da face interna do reservatório é
e a da face externa do isolante è
. Após alguns anos de utilização, a fibra de vidro foi substituída por outro isolante, mantendo a mesma espessura de isolamento. Após a troca do isolamento, notou-se uma elevação de
na transferência de calor, bem como uma elevação de 2,5 C na temperatura da face externa do isolante. Determinar : a) o fluxo de calor antes da troca do isolamento; b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante; c) qual deveria ser a espessura do novo isolamento para que as condições de temperatura externa e fluxo voltassem a ser as mesmas de antes.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo bem claro para não nos perder):
- Condutividade térmica do metal:
. - Diâmetro interno do reservatório:
⇒ raio interno do metal: . - Espessura da carcaça metálica:
⇒ raio externo da carcaça metálica: . - Espessura do isolamento original:
⇒ raio externo do isolamento original: . - Condutividade térmica do isolamento original (fibra de vidro):
. - Temperatura da face interna do reservatório:
(temperatura na superfície interna do metal, em ). - Temperatura da face externa do isolamento original:
(temperatura na superfície externa do isolamento, em ). - Depois da troca do isolamento (mantendo espessura igual), observou-se:
- A transferência de calor aumentou
. - A temperatura da face externa do novo isolante subiu
, ou seja .
- A transferência de calor aumentou
O que nos pedem:
a) Calcular o fluxo de calor (potência térmica) antes da troca do isolamento, ou seja .
b) Determinar a condutividade térmica do novo isolante, .
c) A espessura que o novo isolante deveria ter para que voltassem as mesmas condições de temperatura externa e fluxo (isto é, para que e
).
a) Calcular o fluxo de calor (potência térmica) antes da troca do isolamento, ou seja
b) Determinar a condutividade térmica do novo isolante,
c) A espessura que o novo isolante deveria ter para que voltassem as mesmas condições de temperatura externa e fluxo (isto é, para que
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula que usamos para condução estacionária radial em uma casca esférica (isso é o núcleo da resolução). Aula curta e prática:
- Fórmula de Fourier para fluxo radial em regime estacionário, em uma esfera sintética: a área em uma esfera de raio
é . - Para condução radial pura, integrando a equação diferencial de calor, chega-se à resistência térmica de uma casca esférica entre raios
e :
Explicando cada termo:
-
é a resistência térmica (unidade ) para condução através da casca esférica de raio interno e externo . -
é a condutividade térmica do material (unidade ). - A diferença
vem da integração da variação de temperatura com , e o fator vem da área esférica.
No nosso caso temos duas resistências em série (metal + isolante), logo a resistência total entre
e
é
O fluxo de calor (potência) é então
Passo 3
Calcular os raios numéricos e as quantidades que usaremos:
Também vou anotar a diferença de recíprocos que aparece sempre:
Calculemos esses valores numéricos (mostro passo a passo para você poder refazer à mão):
Portanto
Passo 4
Calcular a resistência térmica da carcaça metálica usando a fórmula da casca esférica:
Substituindo números:
Agora calculo passo a passo (para você conseguir repetir com calculadora):
Observação útil: esse valor é muito pequeno (da ordem de
), então a resistência do metal é praticamente desprezível diante da do isolamento.
Passo 5
Calcular a resistência do isolamento original (fibra de vidro):
Computando:
Passo 6
Calcular a resistência total e então o fluxo de calor antes da troca:
Diferença de temperatura disponível:
Logo o fluxo de calor inicial é
Interpretação rápida: o isolamento original limita bem o fluxo; a carcaça metálica contribui quase nada para a resistência.
Passo 7
Agora tratamos a situação após a troca do isolamento:
- Sabemos que
. - Sabemos que
.
Queremos achar. Procedimento:
- Calcular
. - Determinar a resistência total nova
. - A resistência do novo isolante será
. - Inverter a fórmula da casca esférica para achar
:
Passo 8
Executando os cálculos do Passo 7 com os números:
Temperatura disponível agora:
Resistência total nova:
Resistência do novo isolante:
Agora inverter a fórmula para obter
:
Calculando numericamente:
Interpretação: o novo isolante tem condutividade maior que a fibra original (
); por isso o fluxo aumentou e a face externa ficou mais quente.
Passo 9
Agora a parte (c): queremos achar qual deveria ser a espessura do novo isolante para que tanto a temperatura externa quanto o fluxo voltassem aos valores iniciais (isto é,
e
). Estratégia:
- Para restaurar as mesmas condições precisamos que a resistência do isolamento com o novo material seja igual à resistência do isolamento original, isto é
- Agora, usando a fórmula da casca esférica com
e raio interno fixo em , procuramos o raio externo necessário (onde nova espessura):
- Isolando
:
- Depois
e a espessura requerida é .
Passo 10
Cálculos numéricos para achar a espessura requerida:
Espessura requerida do novo isolante:
Interpretação prática: como o novo isolante é um pouco pior (maior
), é preciso acrescentar cerca de
(de
para
) para recuperar as mesmas condições térmicas originais.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)