Questão (vale 1,0 ponto)
Um reservatório metálico ( \mathrm{k}=52 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ), de formato esférico, tem diâmetro interno 1.0 m , espessura de 5 mm , e é isolado com 20 mm de fibra de vidro ( \mathrm{k}=0,034 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} ). A temperatura da face interna do reservatório é 200^{\circ} \mathrm{C} e a da face externa do isolante è 30^{\circ} \mathrm{C}. Após alguns anos de utilização, a fibra de vidro foi substituída por outro isolante, mantendo a mesma espessura de isolamento. Após a troca do isolamento, notou-se uma elevação de 15 \% na transferência de calor, bem como uma elevação de 2,5 C na temperatura da face externa do isolante. Determinar : a) o fluxo de calor antes da troca do isolamento; b) o coeficiente de condutividade térmica do novo isolante; c) qual deveria ser a espessura do novo isolamento para que as condições de temperatura externa e fluxo voltassem a ser as mesmas de antes.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo bem claro para não nos perder):
  • Condutividade térmica do metal: \displaystyle k_{\text{metal}}=52\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Diâmetro interno do reservatório: \displaystyle 1{,}0\\ \mathrm{m} ⇒ raio interno do metal: \displaystyle r_1=0{,}50\\ \mathrm{m}.
  • Espessura da carcaça metálica: \displaystyle 5\\ \mathrm{mm}=0{,}005\\ \mathrm{m} ⇒ raio externo da carcaça metálica: \displaystyle r_2=0{,}50+0{,}005=0{,}505\\ \mathrm{m}.
  • Espessura do isolamento original: \displaystyle 20\\ \mathrm{mm}=0{,}020\\ \mathrm{m} ⇒ raio externo do isolamento original: \displaystyle r_3=r_2+0{,}020=0{,}525\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do isolamento original (fibra de vidro): \displaystyle k_{1}=0{,}034\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
  • Temperatura da face interna do reservatório: \displaystyle T_1=200^\circ\mathrm{C} (temperatura na superfície interna do metal, em r_1).
  • Temperatura da face externa do isolamento original: \displaystyle T_3=30^\circ\mathrm{C} (temperatura na superfície externa do isolamento, em r_3).
  • Depois da troca do isolamento (mantendo espessura igual), observou-se:
    • A transferência de calor aumentou 15\%.
    • A temperatura da face externa do novo isolante subiu 2{,}5^\circ\mathrm{C}, ou seja \displaystyle T_{3,\text{novo}}=30+2{,}5=32{,}5^\circ\mathrm{C}.
O que nos pedem:
a) Calcular o fluxo de calor (potência térmica) antes da troca do isolamento, ou seja \displaystyle \dot Q_{\text{antes}}.
b) Determinar a condutividade térmica do novo isolante, \displaystyle k_{\text{novo}}.
c) A espessura que o novo isolante deveria ter para que voltassem as mesmas condições de temperatura externa e fluxo (isto é, para que \displaystyle T_3=30^\circ\mathrm{C} e \displaystyle \dot Q=\dot Q_{\text{antes}}).

Passo 2

Vamos lembrar a fórmula que usamos para condução estacionária radial em uma casca esférica (isso é o núcleo da resolução). Aula curta e prática:
  • Fórmula de Fourier para fluxo radial em regime estacionário, em uma esfera sintética: a área em uma esfera de raio r é \displaystyle A(r)=4\pi r^2.
  • Para condução radial pura, integrando a equação diferencial de calor, chega-se à resistência térmica de uma casca esférica entre raios \displaystyle r_a e \displaystyle r_b:
\displaystyle R_{\text{esf}}(r_a,r_b)=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b}\right).
Explicando cada termo:
  • \displaystyle R_{\text{esf}} é a resistência térmica (unidade \mathrm{K}/\mathrm{W}) para condução através da casca esférica de raio interno \displaystyle r_a e externo \displaystyle r_b.
  • \displaystyle k é a condutividade térmica do material (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • A diferença \displaystyle \frac{1}{r_a}-\frac{1}{r_b} vem da integração da variação de temperatura com r, e o fator \displaystyle 4\pi vem da área esférica.
No nosso caso temos duas resistências em série (metal + isolante), logo a resistência total entre \displaystyle r_1 e \displaystyle r_3 é
\displaystyle R_{\text{tot}}=R_{\text{metal}}+R_{\text{isol}}.
O fluxo de calor (potência) é então
\displaystyle \dot Q=\frac{T_1-T_3}{R_{\text{tot}}}.

Passo 3

Calcular os raios numéricos e as quantidades que usaremos:
\displaystyle r_1=0{,}50\\ \mathrm{m},\quad r_2=0{,}505\\ \mathrm{m},\quad r_3=0{,}525\\ \mathrm{m}.
Também vou anotar a diferença de recíprocos que aparece sempre:
\displaystyle \Delta_{\text{metal}}=\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2},\qquad \displaystyle \Delta_{\text{isol}}=\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_3}.
Calculemos esses valores numéricos (mostro passo a passo para você poder refazer à mão):
\displaystyle \frac{1}{r_1}=\frac{1}{0{,}50}=2{,}000000\\ \mathrm{m^{-1}},
\displaystyle \frac{1}{r_2}=\frac{1}{0{,}505}\approx 1{,}980198\\ \mathrm{m^{-1}},
\displaystyle \frac{1}{r_3}=\frac{1}{0{,}525}\approx 1{,}904762\\ \mathrm{m^{-1}}.
Portanto
\displaystyle \Delta_{\text{metal}}=2{,}000000-1{,}980198=0{,}019802\\ \mathrm{m^{-1}},
\displaystyle \Delta_{\text{isol}}=1{,}980198-1{,}904762=0{,}075436\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 4

Calcular a resistência térmica da carcaça metálica usando a fórmula da casca esférica:
\displaystyle R_{\text{metal}}=\frac{1}{4\pi k_{\text{metal}}}\,\Delta_{\text{metal}}.
Substituindo números:
\displaystyle R_{\text{metal}}=\frac{1}{4\pi\cdot 52}\cdot 0{,}019802.
Agora calculo passo a passo (para você conseguir repetir com calculadora):
\displaystyle 4\pi\cdot 52\approx 653{,}452,
\displaystyle \frac{1}{653{,}452}\approx 0{,}000001530,
\displaystyle R_{\text{metal}}\approx 0{,}000001530\times 0{,}019802\approx 0{,}00003029\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
Observação útil: esse valor é muito pequeno (da ordem de 10^{-5}), então a resistência do metal é praticamente desprezível diante da do isolamento.

Passo 5

Calcular a resistência do isolamento original (fibra de vidro):
\displaystyle R_{\text{isol,1}}=\frac{1}{4\pi k_{1}}\;\Delta_{\text{isol}} =\frac{1}{4\pi\cdot 0{,}034}\cdot 0{,}075436.
Computando:
\displaystyle 4\pi\cdot 0{,}034\approx 0{,}427256,
\displaystyle \frac{1}{0{,}427256}\approx 2{,}340838,
\displaystyle R_{\text{isol,1}}\approx 2{,}340838\times 0{,}075436\approx 0{,}176637\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.

Passo 6

Calcular a resistência total e então o fluxo de calor antes da troca:
\displaystyle R_{\text{tot,1}}=R_{\text{metal}}+R_{\text{isol,1}} \approx 0{,}00003029+0{,}176637\approx 0{,}176667\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
Diferença de temperatura disponível:
\displaystyle \Delta T_{1}=T_1-T_3=200-30=170\\ \mathrm{K}.
Logo o fluxo de calor inicial é
\displaystyle \dot Q_{\text{antes}}=\frac{\Delta T_{1}}{R_{\text{tot,1}}} =\frac{170}{0{,}176667}\approx 962{,}45\\ \mathrm{W}.
Interpretação rápida: o isolamento original limita bem o fluxo; a carcaça metálica contribui quase nada para a resistência.

Passo 7

Agora tratamos a situação após a troca do isolamento:
  • Sabemos que \displaystyle \dot Q_{\text{novo}}=1{,}15\;\dot Q_{\text{antes}}.
  • Sabemos que \displaystyle T_{3,\text{novo}}=32{,}5^\circ\mathrm{C}.
    Queremos achar \displaystyle k_{\text{novo}}. Procedimento:
  1. Calcular \displaystyle \dot Q_{\text{novo}}.
  2. Determinar a resistência total nova \displaystyle R_{\text{tot,novo}}=\dfrac{T_1-T_{3,\text{novo}}}{\dot Q_{\text{novo}}}.
  3. A resistência do novo isolante será \displaystyle R_{\text{isol,novo}}=R_{\text{tot,novo}}-R_{\text{metal}}.
  4. Inverter a fórmula da casca esférica para achar \displaystyle k_{\text{novo}}:
\displaystyle k_{\text{novo}}=\frac{1}{4\pi R_{\text{isol,novo}}}\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_3}\right).

Passo 8

Executando os cálculos do Passo 7 com os números:
\displaystyle \dot Q_{\text{novo}}=1{,}15\times 962{,}45\approx 1\,106{,}82\\ \mathrm{W}.
Temperatura disponível agora:
\displaystyle \Delta T_{\text{novo}}=T_1-T_{3,\text{novo}}=200-32{,}5=167{,}5\\ \mathrm{K}.
Resistência total nova:
\displaystyle R_{\text{tot,novo}}=\frac{167{,}5}{1\,106{,}82}\approx 0{,}151345\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
Resistência do novo isolante:
\displaystyle R_{\text{isol,novo}}=R_{\text{tot,novo}}-R_{\text{metal}} \approx 0{,}151345-0{,}00003029\approx 0{,}151315\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
Agora inverter a fórmula para obter \displaystyle k_{\text{novo}}:
\displaystyle k_{\text{novo}}=\frac{1}{4\pi R_{\text{isol,novo}}}\,\Delta_{\text{isol}} =\frac{0{,}075436}{4\pi\cdot 0{,}151315}.
Calculando numericamente:
\displaystyle 4\pi\cdot 0{,}151315\approx 1{,}90036,
\displaystyle k_{\text{novo}}\approx\frac{0{,}075436}{1{,}90036}\approx 0{,}03969\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}.
Interpretação: o novo isolante tem condutividade maior que a fibra original ( 0{,}034); por isso o fluxo aumentou e a face externa ficou mais quente.

Passo 9

Agora a parte (c): queremos achar qual deveria ser a espessura do novo isolante para que tanto a temperatura externa quanto o fluxo voltassem aos valores iniciais (isto é, \displaystyle T_3=30^\circ\mathrm{C} e \displaystyle \dot Q=\dot Q_{\text{antes}}). Estratégia:
  • Para restaurar as mesmas condições precisamos que a resistência do isolamento com o novo material seja igual à resistência do isolamento original, isto é
\displaystyle R_{\text{isol,req}}=R_{\text{isol,1}}\approx 0{,}176637\\ \mathrm{K}/\mathrm{W}.
  • Agora, usando a fórmula da casca esférica com \displaystyle k_{\text{novo}} e raio interno fixo em \displaystyle r_2, procuramos o raio externo necessário \displaystyle r_4 (onde r_4=r_2+ nova espessura):
\displaystyle R_{\text{isol,req}}=\frac{1}{4\pi k_{\text{novo}}}\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_4}\right).
  • Isolando \displaystyle \frac{1}{r_4}:
\displaystyle \frac{1}{r_4}=\frac{1}{r_2}-4\pi k_{\text{novo}}R_{\text{isol,req}}.
  • Depois \displaystyle r_4=\left[\frac{1}{r_2}-4\pi k_{\text{novo}}R_{\text{isol,req}}\right]^{-1} e a espessura requerida é \displaystyle e_{\text{novo}}=r_4-r_2.

Passo 10

Cálculos numéricos para achar a espessura requerida:
\displaystyle 4\pi k_{\text{novo}}R_{\text{isol,req}}=4\pi\cdot 0{,}03969\cdot 0{,}176637\approx 0{,}088083.
\displaystyle \frac{1}{r_2}-4\pi k_{\text{novo}}R_{\text{isol,req}} =1{,}980198-0{,}088083\approx 1{,}892115\\ \mathrm{m^{-1}}.
\displaystyle r_4=\frac{1}{1{,}892115}\approx 0{,}528439\\ \mathrm{m}.
Espessura requerida do novo isolante:
\displaystyle e_{\text{novo}}=r_4-r_2=0{,}528439-0{,}505=0{,}023439\\ \mathrm{m}\approx 23{,}44\\ \mathrm{mm}.
Interpretação prática: como o novo isolante é um pouco pior (maior k), é preciso acrescentar cerca de 3{,}44\\ \mathrm{mm} (de 20{,}00 para 23{,}44\\ \mathrm{mm}) para recuperar as mesmas condições térmicas originais.

Resposta

(a) \displaystyle \dot Q_{\text{antes}}\approx 962{,}45\\ \mathrm{W}
(b) \displaystyle k_{\text{novo}}\approx 0{,}03969\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}
(c) \displaystyle e_{\text{novo}}\approx 0{,}02344\\ \mathrm{m}=23{,}44\\ \mathrm{mm}

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