25.13 One way to deliver a timed dosage within the human body is to ingest a capsule and allow it to settle in the gastrointestinal system. Once inside the body, the capsule slowly releases the drug to the body by a diffusion-limited process. A suitable drug carrier is a spherical bead of a nontoxic gelatinous material that can pass through the gastrointestinal system
without disintegrating. A water-soluble drug (solute A ) is uniformly dissolved within the gel, has an initial concentration, c_{A o} of 50 \mathrm{mg} / \mathrm{cm}^{3}. The drug loaded within the spherical gel capsule is the sink for mass transfer. Consider a limiting case where the drug is immediately consumed or swept away once it reaches the surface, i.e., @ R, c_{A}=0.
a. In analyzing the process, choose a coordinate system and simplify the general differential equation for the mass transfer of the drug in terms of the flux.
b. What reasonable assumptions were used in your simplifying of the general differential equation.
c. Simplify Fick’s equation for the drug species and obtain a differential equation in terms of concentration, c_{A}.

Passo 1

O enunciado dá um grânulo esférico (raio R) contendo um soluto (droga) uniformemente distribuído com concentração inicial \;c_{A0}=50\\ \mathrm{mg/cm^{3}}\; e pede três coisas:
  • (a) escolher um sistema de coordenadas e simplificar a equação geral de conservação de massa em termos do fluxo;
  • (b) listar as suposições razoáveis usadas nessa simplificação;
  • (c) usar a lei de Fick e obter a equação diferencial (em termos de concentração \;c_A\;) que descreve o processo.
Informações importantes do enunciado que vou usar: a partícula é esférica; o interior contém o soluto uniformemente no início; como caso limite, na superfície \;r=R\; o soluto é imediatamente consumido/soprado, então \;c_A(R,t)=0\;. Não há figura adicional. A resolução começará no próximo passo.

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas e escrita da equação geral de conservação em termos do fluxo.
Como a cápsula é esférica e a liberação é por difusão radial, o sistema natural é o sistema de coordenadas esféricas com simetria radial (variáveis dependem apenas de \;r\; e \;t\;). A equação geral de conservação de massa (forma local) para a espécie A em termos do fluxo vetor \mathbf{N}_A é:
\frac{\partial c_A}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf{N}_A + r_A
onde:
  • \;c_A(r,t)\; é a concentração da espécie A (unidade: \mathrm{mg/cm^{3}});
  • \;\mathbf{N}_A(r,t)\; é o fluxo vetorial de A (unidade: \mathrm{mg/(cm^{2}\,s)});
  • \;r_A\; é taxa volumétrica de geração (positive = produção) de A (unidade: \mathrm{mg/(cm^{3}\,s)}).
Essa equação diz, em palavras: a taxa de variação local da concentração é igual ao fluxo líquido que sai/entra (divergência do fluxo) mais qualquer geração interna.

Passo 3

Explicação do significado físico de cada termo e escolha do sinal: por convenção a divergência positiva significa que há saída de massa do elemento de volume local; por isso o sinal negativo no lado direito: se \nabla\cdot\mathbf{N}_A>0 (mais saída que entrada), a concentração local diminui ( \partial c_A/\partial t<0).
Agora vamos adaptar essa equação à simetria esférica radial.

Passo 4

Expressão da divergência do fluxo em coordenadas esféricas com simetria radial.
Se só existe componente radial do fluxo, escrevemos \mathbf{N}_A = N_{A,r}(r,t)\,\mathbf{e}_r. A divergência de um campo radial depende da derivada radial com um fator geométrico r^2. A fórmula padrão é:
\nabla\cdot\mathbf{N}_A = \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2} N_{A,r}\bigr).
Observação didática rápida: isso vem do fato que a área de uma casca esférica de raio r é proporcional a r^{2}. Para calcular o fluxo líquido que sai de uma casca entre r e r+dr usamos essa variação de r^{2}N_{A,r}.

Passo 5

Inserindo a divergência radial na equação de conservação.
Substituindo a expressão do passo anterior em
\frac{\partial c_A}{\partial t} = -\nabla\cdot\mathbf{N}_A + r_A
obtemos:
\frac{\partial c_A}{\partial t} = -\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2} N_{A,r}\bigr) + r_A.
Esta é a equação de conservação em termos do componente radial do fluxo \;N_{A,r}\;, válida para \;0\le r\le R\;.

Passo 6

Lista das suposições usadas até aqui (resposta a b), explicadas de forma clara e com motivação física).
As suposições razoáveis são:
  • Simetria esférica radial: a concentração depende apenas de \;r\; e \;t\;, porque o grânulo é esférico e não existe direção preferencial. Isso elimina dependência angular.
  • Estado contínuo e campo bem definido: há concentração e fluxo bem definidos localmente (modelo contínuo).
  • Não há convecção interna do gel: o transporte é dominado por difusão, não por movimento da matriz do gel (sem advecção).
  • Não há geração interna química do soluto dentro do gel: \;r_A=0\; (a menos que o enunciado dissesse o contrário).
  • Propriedades homogêneas e isotrópicas do gel: coeficiente de difusão uniforme no espaço (dependência espacial desprezível).
  • Temperatura constante (isotérmico) de modo a manter o coeficiente de difusão aproximadamente constante.
  • Caso limite na superfície: \;c_A(R,t)=0\; (enunciado).
  • Condição de regularidade no centro: \;\partial c_A/\partial r|_{r=0}=0\; por simetria (não há singularidade no centro).
Vou usar essas suposições adiante (principalmente r_A=0 e D constante).

Passo 7

Introdução da Lei de Fick (explicando o que é, unidades e significado) e substituição na equação de conservação.
Lei de Fick (Lei de difusão de primeira lei) diz que o fluxo difusivo é proporcional ao gradiente de concentração e direcionado no sentido de diminuir a concentração. Em forma vetorial:
\mathbf{N}_A = -D \nabla c_A,
onde:
  • \;D\; é o coeficiente de difusão (unidade: \mathrm{cm^{2}/s});
  • o sinal negativo indica que o fluxo vai do maior para o menor valor de \;c_A\;.
Em simetria radial essa lei fica:
N_{A,r} = -D\,\frac{\partial c_A}{\partial r}.
Explicação: a derivada \partial c_A/\partial r indica a variação de concentração com o raio; se a concentração diminui com o raio (gradiente negativo), o fluxo (por convenção positiva para fora) será positivo se necessário — o sinal negativo em Fick corrige isso para dar a direção correta.

Passo 8

Substituindo a lei de Fick na equação de conservação (obter a equação em termos de c_A).
Começamos com a equação do Passo 5:
\frac{\partial c_A}{\partial t} = -\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2} N_{A,r}\bigr) + r_A.
Colocando N_{A,r} = -D\,\frac{\partial c_A}{\partial r} e assumindo r_A=0 (sem geração interna), temos:
\frac{\partial c_A}{\partial t} = -\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r^{2}\bigl(-D\,\frac{\partial c_A}{\partial r}\bigr)\Bigr).
O sinal duplo menos vira mais:
\frac{\partial c_A}{\partial t} = \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r^{2}D\,\frac{\partial c_A}{\partial r}\Bigr).
Se além disso assumimos D constante (independente de r e c_A), podemos tirar D para fora da derivada:
\frac{\partial c_A}{\partial t} = D\,\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r^{2}\frac{\partial c_A}{\partial r}\Bigr).
Essa é a equação de difusão (difusão esférica) que descreve a evolução temporal da concentração dentro da esfera.

Passo 9

Comentário e condições de contorno/iniciais necessárias para resolver o problema (úteis na prova).
Condições usuais associadas ao enunciado:
  • Condição inicial (dada): \;c_A(r,0)=c_{A0}=50\\ \mathrm{mg/cm^{3}} para 0\le r\le R.
  • Condição na superfície (dada como caso limite): \;c_A(R,t)=0 para t>0.
  • Condição no centro (regularidade por simetria): \;\left.\dfrac{\partial c_A}{\partial r}\right|_{r=0}=0 para t>0.
Com essa PDE e essas condições, chega-se à solução temporal espacial do problema (ainda não solicitada aqui).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial c_A}{\partial t} = -\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\bigl(r^{2} N_{A,r}\bigr).
(b) Simetria esférica (dependência só de r e t); transporte puramente difusivo (sem advecção); sem geração interna ( r_A=0); coeficiente de difusão homogêneo e constante ( D constante); isotermia; condição de superfície c_A(R,t)=0; condição de simetria no centro \partial c_A/\partial r|_{r=0}=0.
(c) Aplicando a lei de Fick N_{A,r}=-D\,\dfrac{\partial c_A}{\partial r} e r_A=0, obtemos
\frac{\partial c_A}{\partial t} = D\,\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r^{2}\frac{\partial c_A}{\partial r}\Bigr).

Exercícios relacionados