A largura do pico de ressonância é a largura do pico da amplitude quando a Energia se reduz a metade do seu valor, ou seja, quando
ou
Faça o gráfico de
por
, onde A é a amplitude do regime estacionário e
a frequência de oscilação do forçamento externo. Para isso, escolha os valores dos parâmetros da função
e mostre que essa largura tem o valor do fator de amortecimento,
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A ideia é estudar um oscilador harmônico forçado e amortecido, olhar como a amplitude estacionária A(ω) varia com a frequência ω do forçamento, desenhar esse gráfico e mostrar que a largura do pico (em que A cai pra A/√2) vale exatamente o coeficiente de amortecimento γ. Para isso a matéria envolvida é:
- Equação do oscilador amortecido forçado
- Cálculo da amplitude em regime estacionário
- Definição de meia-potência (A(ω)=A_max/√2)
Passo 2
Derivindo a fórmula da amplitude A(ω):
A equação do movimento é
A equação do movimento é
Em regime estacionário a solução é
. Substituindo e resolvendo a parte amplitude dá:
Passo 3
Vamos escolher um exemplo numérico pra ficar visual:
m=1 kg, k=1 N/m ⇒ ω₀=1 rad/s, F₀=1 N e γ=0.2 s⁻¹.
Aí a função vira
m=1 kg, k=1 N/m ⇒ ω₀=1 rad/s, F₀=1 N e γ=0.2 s⁻¹.
Aí a função vira
Se a gente plotar A(ω) vs. ω, vai ver um pico em torno de ω≈1 rad/s e cauda simétrica.
Passo 4
Agora a meia-potência: A² cai pra metade de A_max², isto é
O máximo (para γ ≪ ω₀) fica em ω≈ω₀ e vale
Então impomos
Passo 5
Para γ≪ω₀, aproximamos ω=ω₀+δ e desprezamos δ²:
(ω₀²−ω²)≈−2ω₀δ, e γ ω≈γ ω₀. A equação vira
(ω₀²−ω²)≈−2ω₀δ, e γ ω≈γ ω₀. A equação vira
Logo
e a largura do pico em meia-potência é
Resposta
A largura do pico de ressonância (entre os pontos de meia-potência) é exatamente γ.