A largura do pico de ressonância é a largura do pico da amplitude quando a Energia se reduz a metade do seu valor, ou seja, quando A(omega)^2 / 2 ou A(omega) / raiz2
Faça o gráfico de A(omega) por omega, onde A é a amplitude do regime estacionário e omega a frequência de oscilação do forçamento externo. Para isso, escolha os valores dos parâmetros da função A(omega) e mostre que essa largura tem o valor do fator de amortecimento, gamma.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício pede. A ideia é estudar um oscilador harmônico forçado e amortecido, olhar como a amplitude estacionária A(ω) varia com a frequência ω do forçamento, desenhar esse gráfico e mostrar que a largura do pico (em que A cai pra A/√2) vale exatamente o coeficiente de amortecimento γ. Para isso a matéria envolvida é:
  • Equação do oscilador amortecido forçado
  • Cálculo da amplitude em regime estacionário
  • Definição de meia-potência (A(ω)=A_max/√2)

Passo 2

Derivindo a fórmula da amplitude A(ω):
A equação do movimento é
mddot x + mgammadot x + kx = F0cos(omega t),
Em regime estacionário a solução é x(t)=A(omega)cos(omega t-phi). Substituindo e resolvendo a parte amplitude dá:
A(omega);=;F0/mraiz(ω0^2-ω^2)^2+(gamma,ω)^2,, ω0=raizk/m,

Passo 3

Vamos escolher um exemplo numérico pra ficar visual:
m=1 kg, k=1 N/m ⇒ ω₀=1 rad/s, F₀=1 N e γ=0.2 s⁻¹.
Aí a função vira
A(ω)=1raiz(1-ω^2)^2+(0.2,ω)^2,
Se a gente plotar A(ω) vs. ω, vai ver um pico em torno de ω≈1 rad/s e cauda simétrica.

Passo 4

Agora a meia-potência: A² cai pra metade de A_max², isto é
A(ωpm)=Amaxraiz2,
O máximo (para γ ≪ ω₀) fica em ω≈ω₀ e vale
AmaxapproxF0/mgamma,ω0,
Então impomos
(F0/m)^2(ω0^2-ω^2)^2+(gamma,ω)^2=(F0/m)^22(gamma,ω0)^2,

Passo 5

Para γ≪ω₀, aproximamos ω=ω₀+δ e desprezamos δ²:
(ω₀²−ω²)≈−2ω₀δ, e γ ω≈γ ω₀. A equação vira
4ω0^2δ^2+(γω0)^2=2(γω0)^2;Rightarrow;δ^2=γ^24;Rightarrow;δ=pmγ2
Logo
ω+=ω0+tfracγ2, ω-=ω0-tfracγ2,
e a largura do pico em meia-potência é
Δω=ω+-ω-=γ,

Resposta

A largura do pico de ressonância (entre os pontos de meia-potência) é exatamente γ.

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