Uma onda transversal senoidal se propaga em uma corda no sentido positivo do eixo x. A corda possui densidade linear de
. Em
, a velocidade transversal máxima da partícula em
é
.
a) Determine a velocidade de propagação da onda.
b) Calcule a velocidade transversal máxima do ponto
.
c) Determine o comprimento de onda
e o período.
d) Determine a equação da onda.
e) Desenhe o gráfico
versus
em
.
a) Determine a velocidade de propagação da onda.
b) Calcule a velocidade transversal máxima do ponto
c) Determine o comprimento de onda
d) Determine a equação da onda.
e) Desenhe o gráfico
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma onda transversal senoidal que se propaga ao longo de uma corda na direção positiva do eixo
. A corda tem uma densidade linear de
. No instante
, a velocidade transversal máxima da partícula localizada em
é de
.
Para resolver os itens dessa questão, vamos precisar entender conceitos de ondas transversais, como velocidade de propagação, comprimento de onda, período, e equação da onda. Vamos resolver cada parte passo a passo, explicando cada conceito pra facilitar o entendimento.
Passo 2
Item a) Determinar a velocidade de propagação da onda.
A velocidade de propagação
de uma onda numa corda é dada pela fórmula:
Onde:
-
é a tensão na corda. -
é a densidade linear da corda.
Entretanto, na questão não foi dada diretamente a tensão
. Mas podemos relacionar a velocidade transversal máxima com a amplitude e a frequência da onda para encontrar
.
Mas para simplificar, vamos assumir que a tensão não varia e focar na relação básica entre
,
(comprimento de onda) e
(frequência):
Mas ainda precisamos de mais informações. Então, vamos avançar para os próximos itens para encontrar
e
que nos ajudarão a determinar
.
Passo 3
Item b) Calcular a velocidade transversal máxima do ponto
.
A velocidade transversal máxima
de uma partícula numa onda senoidal é relacionada à amplitude
e à frequência angular
da onda pela fórmula:
Sabemos que:
Mas ainda não temos
nem
. Precisamos continuar para encontrar esses valores nas próximas partes.
Passo 4
Item c) Determinar o comprimento de onda
e o período.
O comprimento de onda
e o período
estão relacionados com a velocidade de propagação
pela relação:
Mas ainda precisamos de mais informações ou de assumir algum valor para continuar. Vamos agora ao item d) que pode nos dar a equação da onda e ajudar a determinar esses valores.
Passo 5
Item d) Determinar a equação da onda.
A equação geral de uma onda senoidal transversal que se propaga na direção positiva do eixo
é:
Onde:
-
é a amplitude. -
é o número de onda ( ). -
é a frequência angular ( ). -
é a fase inicial.
Como no instante
, a velocidade transversal máxima ocorre em
, podemos deduzir que
. Assim, a equação simplifica para:
Agora, vamos relacionar as informações dadas para encontrar
,
e
.
Passo 6
Item e) Desenhar o gráfico
versus
em
.
No instante
, a equação da onda fica:
Isso representa uma onda senoidal que passa por
com amplitude
. O gráfico será uma curva senoidal com amplitude máxima igual a
e comprimento de onda
.
Resposta
a) Velocidade de propagação da onda:
A velocidade de propagação é
.
A velocidade de propagação
b) Velocidade transversal máxima do ponto
:
Já foi fornecida na questão como .
Já foi fornecida na questão como
c) Comprimento de onda
e período
:
Considerando e
, precisamos de mais informações para determinar
e
. Contudo, sem valores adicionais, não é possível determinar esses valores com os dados fornecidos.
Considerando
d) Equação da onda:
A equação da onda é:
A equação da onda é:
e) Gráfico
versus
em
:
O gráfico é uma curva senoidal representada por:
O gráfico é uma curva senoidal representada por:
Onde
é a amplitude e
.