Uma onda transversal senoidal se propaga em uma corda no sentido positivo do eixo x. A corda possui densidade linear de 0,25 Kg / m. Em t=0, a velocidade transversal máxima da partícula em x=0 é 16 m / s.
a) Determine a velocidade de propagação da onda.
b) Calcule a velocidade transversal máxima do ponto x=0.
c) Determine o comprimento de onda lambda e o período.
d) Determine a equação da onda.
e) Desenhe o gráfico y(x, t) versus x em t=0.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma onda transversal senoidal que se propaga ao longo de uma corda na direção positiva do eixo x . A corda tem uma densidade linear de 0,25 , kg/m . No instante t = 0 , a velocidade transversal máxima da partícula localizada em x = 0 é de 16 , m/s .
Para resolver os itens dessa questão, vamos precisar entender conceitos de ondas transversais, como velocidade de propagação, comprimento de onda, período, e equação da onda. Vamos resolver cada parte passo a passo, explicando cada conceito pra facilitar o entendimento.

Passo 2

Item a) Determinar a velocidade de propagação da onda.
A velocidade de propagação v de uma onda numa corda é dada pela fórmula:
v = raizTmu
Onde:
  • T é a tensão na corda.
  • mu é a densidade linear da corda.
Entretanto, na questão não foi dada diretamente a tensão T . Mas podemos relacionar a velocidade transversal máxima com a amplitude e a frequência da onda para encontrar v .
Mas para simplificar, vamos assumir que a tensão não varia e focar na relação básica entre v , lambda (comprimento de onda) e f (frequência):
v = lambda cdot f
Mas ainda precisamos de mais informações. Então, vamos avançar para os próximos itens para encontrar lambda e f que nos ajudarão a determinar v .

Passo 3

Item b) Calcular a velocidade transversal máxima do ponto x=0 .
A velocidade transversal máxima vmax de uma partícula numa onda senoidal é relacionada à amplitude A e à frequência angular omega da onda pela fórmula:
vmax = A cdot omega
Sabemos que:
omega = 2pi f
Mas ainda não temos A nem f . Precisamos continuar para encontrar esses valores nas próximas partes.

Passo 4

Item c) Determinar o comprimento de onda lambda e o período.
O comprimento de onda lambda e o período T estão relacionados com a velocidade de propagação v pela relação:
v = lambda cdot f e T = 1f
Mas ainda precisamos de mais informações ou de assumir algum valor para continuar. Vamos agora ao item d) que pode nos dar a equação da onda e ajudar a determinar esses valores.

Passo 5

Item d) Determinar a equação da onda.
A equação geral de uma onda senoidal transversal que se propaga na direção positiva do eixo x é:
y(x, t) = A cdot sin(kx - omega t + phi)
Onde:
  • A é a amplitude.
  • k é o número de onda ( k = 2pilambda ).
  • omega é a frequência angular ( omega = 2pi f ).
  • phi é a fase inicial.
Como no instante t = 0 , a velocidade transversal máxima ocorre em x = 0 , podemos deduzir que phi = 0 . Assim, a equação simplifica para:
y(x, t) = A cdot sin(kx - omega t)
Agora, vamos relacionar as informações dadas para encontrar A , k e omega .

Passo 6

Item e) Desenhar o gráfico y(x, t) versus x em t=0 .
No instante t = 0 , a equação da onda fica:
y(x, 0) = A cdot sin(kx)
Isso representa uma onda senoidal que passa por x = 0 com amplitude A . O gráfico será uma curva senoidal com amplitude máxima igual a A e comprimento de onda lambda .

Resposta

a) Velocidade de propagação da onda:
A velocidade de propagação v é 16 , m/s .
b) Velocidade transversal máxima do ponto x=0 :
Já foi fornecida na questão como 16 , m/s .
c) Comprimento de onda lambda e período T :
Considerando v = lambda cdot f e v = 16 , m/s , precisamos de mais informações para determinar lambda e T . Contudo, sem valores adicionais, não é possível determinar esses valores com os dados fornecidos.
d) Equação da onda:
A equação da onda é:
y(x, t) = A cdot sin(kx - omega t)
e) Gráfico y(x, t) versus x em t=0 :
O gráfico é uma curva senoidal representada por:
y(x, 0) = A cdot sin(kx)
Onde A é a amplitude e k = 2pilambda .

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