É válida a aproximação sugerida pelos livros de que a frequência de ressonância seja aproximadamente igual à frequência natural
?
Para responder encontre o ponto de máximo da expressão da amplitude no regime estacionário e argumente sua resposta.
Passo 1
Então, o exercício tá perguntando se faz sentido aproximar a frequência de ressonância
igual à frequência natural
num sistema massa-mola com amortecimento leve. O conteúdo é Oscilações Forçadas (regime estacionário). Para responder, a gente vai achar o valor de
que deixa a amplitude
máxima (ou seja, encontrar
), e depois ver em que condições
.
Passo 2
Pra achar o máximo de
, é mais fácil maximizar
(porque tirar derivada de raiz complica). Então define
Teoria rápida: pra achar extremo a gente faz
. Isso dá o mesmo
que zera
.
Passo 3
Calculemos
. Como
é constante, só derivamos o denominador
.
-
. - Pra
, precisamos de .
Então
O caso
dá mínimo; o interesse é
Passo 4
Então a frequência de pico (ressonância) é
Agora, se o amortecimento é leve significa
. Aí podemos usar a expansão de raiz:
Como
é muito pequeno,
.
Resposta
Sim, desde que o amortecimento seja fraco (
), a frequência de ressonância
fica praticamente igual a . Portanto, a aproximação
é válida nesse regime.
fica praticamente igual a