É válida a aproximação sugerida pelos livros de que a frequência de ressonância seja aproximadamente igual à frequência natural (omegaR approx omega0) ?
Para responder encontre o ponto de máximo da expressão da amplitude no regime estacionário e argumente sua resposta.
A(omega)=F0m 1[(omega^2-omega0^2)^2+gamma^2 omega^2]^1 / 2

Passo 1

Então, o exercício tá perguntando se faz sentido aproximar a frequência de ressonância omegaR igual à frequência natural omega0 num sistema massa-mola com amortecimento leve. O conteúdo é Oscilações Forçadas (regime estacionário). Para responder, a gente vai achar o valor de omega que deixa a amplitude
A(omega)=F0m,1raizl(omega^2-omega0^2r)^2+gamma^2,omega^2
máxima (ou seja, encontrar omegaR), e depois ver em que condições omegaRapproxomega0.

Passo 2

Pra achar o máximo de A(omega), é mais fácil maximizar A^2(omega) (porque tirar derivada de raiz complica). Então define
B(omega)=A^2(omega)=gl(F0mgr)^21l(omega^2-omega0^2r)^2+gamma^2omega^2
Teoria rápida: pra achar extremo a gente faz dBdomega=0. Isso dá o mesmo omega que zera dAdomega.

Passo 3

Calculemos dBdomega=0. Como (F0m)^2 é constante, só derivamos o denominador D(omega)=(omega^2-omega0^2)^2+gamma^2omega^2.
  1. D'(omega)=2(omega^2-omega0^2)cdot2omega+2gamma^2omega.
  2. Pra dBdomega=0, precisamos de D'(omega)=0.
    Então
4omega(omega^2-omega0^2)+2gamma^2omega=0 Longrightarrow 2omegal[2(omega^2-omega0^2)+gamma^2r]=0
O caso omega=0 dá mínimo; o interesse é
2(omega^2-omega0^2)+gamma^2=0 Longrightarrow omega^2=omega0^2-gamma^22

Passo 4

Então a frequência de pico (ressonância) é
omegaR=raizomega0^2-gamma^22,
Agora, se o amortecimento é leve significa gamma^2llomega0^2. Aí podemos usar a expansão de raiz:
raizomega0^2-tfracgamma^22 =omega0raiz1-gamma^22omega0^2 approxomega0l(1-12cdotgamma^22omega0^2r) =omega0l(1-gamma^24omega0^2r)
Como gamma^2/(4omega0^2) é muito pequeno, omegaRapproxomega0.

Resposta

Sim, desde que o amortecimento seja fraco ( gamma^2llomega0^2), a frequência de ressonância
omegaR=raizomega0^2-tfracgamma^22
fica praticamente igual a omega0. Portanto, a aproximação omegaRapproxomega0 é válida nesse regime.

Exercícios relacionados