Uma lata de cerveja de alumínio, com formato cilíndrico e 350 mL de volume, foi retirada da geladeira a 5^circ C e deixada em um freezer a uma temperatura ambiente de -18^circ C. A lata tem um diâmetro de 6,5 cm e altura de 12 cm . O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a superfície da lata e o ar frio do freezer é 5 W / m^2 K. Considere que o refrigerante pode ser modelado como água, com as seguintes propriedades:
  • cp=4180 J / kgK
  • rho=1000 kg / m^3
  • k água =0,6 W / mKá
    Desprezando a resistência térmica da lata, por ser muito fina, determine o tempo necessário para que o refrigerante atinja uma temperatura de -5,5^circ C.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos uma lata de alumínio cilíndrica de 350 mL (que vamos tratar como água) que sai geladinha a 5 °C e é colocada num freezer a –18 °C. Queremos saber quanto tempo leva até o refrigerante chegar a –5,5 °C.
Conteúdo: transferência de calor por convecção, modelo de caldo (lumped capacitance).
O que vamos precisar:
  • Calcular massa do líquido (m = ρ·V)
  • Área externa da lata (A)
  • Número de Biot pra ver se podemos usar o modelo lumped
  • Solução da equação de resfriamento em regime transitório: em função de tempo

Passo 2

Dados e geometria
  1. Volume do líquido: .
  2. Densidade da água: .
    ⇒ massa .
  3. Dimensões da lata: diâmetro , logo raio ; altura .
  4. Área externa (cilindro + tampas):

Passo 3

Justificando o modelo lumped (capacidade concentrada)
Calculamos o número de Biot:
Bi = h,Lckrm água, Lc = VA = 3,5times10^-40,0311approx0,0113 m á
Com Bi = 5cdot0,01130,6approx0,094 < 0,1 e á,
Como Bi < 0,1, a resistência interna por condução é desprezível e o modelo lumped vale!

Passo 4

Equação de resfriamento lumped
A equação de balanço de energia para temperatura uniforme m cp ,dTdt = -h A,[T(t) - Tinfty], no fluido é
integral5^T(t) dTT - Tinfty = -h Am cp integral0^t dt ;;Longrightarrow;; T(t)-TinftyTi - Tinfty = exp!l(-t/taur),
onde tau = m,cph,A .
Separando variáveis e integrando de até :
com a constante de tempo

Passo 5

Cálculo do tempo para chegar a –5,5 °C
  1. Primeiro, -5,5 -(-18)5 -(-18) = 12,523 approx0,543 = exp(-t/tau)
  2. Queremos t = -tau ln(0,543) approx 9400 times 0,611 approx 5,74times10^3 s . Logo
  1. Então
Convertendo em minutos: .

Resposta

O tempo necessário é cerca de 5,7×10³ s, isto é, aproximadamente 96 minutos.

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