Uma parede plana de aço carbono (k=50 W / m cdot K) com 15 mm de espessura e 1 m^2 de área possui uma série de aletas retangulares de alumínio ( k=205 W / m cdot K ) fixadas à sua superfície externa para melhorar a dissipação de calor. O ambiente interno está a 150^circ C e o ambiente externo a 25^circ C, com um coeficiente de convecção de 20 W / m^2 cdot K no lado externo.
Cada aleta possui:
  • Comprimento: 0,1 m
  • Largura: 0,02 m
  • Espessura: 2 mm
    Determine:
    A taxa de calor transferida para o ambiente externo.
    Dica: calcule as resistências (cond, conv e da aleta), sendo que a da aleta será relacionada a sua eficiência R a<=ta =1eta h Área da a<=ta Á

Passo 1

Tranquilo, aqui o que temos:
– Uma parede de aço carbono (k₁=50 W/m·K), espessura L=0,015 m e área A₀=1 m².
– De um lado da parede tá a 150 °C, do outro lado (externo) o ar a 25 °C com h=20 W/m²·K.
– Pra melhorar a troca de calor no lado frio a gente fixa várias aletas retangulares de alumínio (k₂=205 W/m·K), cada uma com comprimento (altura) L_f=0,1 m, largura (em planta) w=0,02 m e espessura t=0,002 m.
– A questão pede a taxa de calor total que sai pra o ambiente externo.
Conteúdo que vamos usar:
  1. Resistência térmica por condução na parede plana (Lei de Fourier).
  2. Resistência térmica por convecção Newtoniana.
  3. Teoria de aletas retangulares finitas: m, eficiência η e resistência da aleta R_aleta.

Passo 2

Calcular a resistência de condução da parede plana:
Rrm cond ;=;Lk1,A0 ;=;0,01550cdot1 ;=;3,0times10^-4;K/W

Passo 3

Determinar quantas aletas cabem na parede e a área de convecção efetiva delas:
– Como cada aleta “ocupa” 0,02 m de largura no substrato, em 1 m cabem
N = 10,02 = 50 a<=tas
– A área de troca (lados da aleta, desprezando a ponta) por aleta é
Af = 2,(Lf cdot w) = 2,(0,1cdot0,02)=0,004;m^2

Passo 4

Calcular a eficiência da aleta reta (perfil retangular):
  1. Definir
m = raiz2,hk2,t =raiz2cdot20205cdot0,002 approx9,88;m^-1
  1. Calcular mL_f e η:
mLf = 9,88cdot0,1 = 0,988Longrightarrow eta = tanh(mLf)mLf = tanh(0,988)0,988 approx0,77

Passo 5

Montar a resistência térmica equivalente do lado externo (só pelas aletas):
– Cada aleta tem R_aleta:
Rrm a<=ta =1eta,h,Af =10,77cdot20cdot0,004 approx16,23;K/W
– São 50 aletas em paralelo, então
Rrm conv, total =Rrm a<=taN =16,2350 approx0,325;K/W

Passo 6

Calcular a taxa de calor total:
– A resistência total da árvore térmica é
Rrm tot =Rrm cond+Rrm conv, total =0,0003+0,325 approx0,3253;K/W
– A diferença de temperatura é ΔT=150–25=125 K, logo
dot Q =De

Resposta

A taxa de calor transferida para o ambiente externo é aproximadamente 3,84×10² W.

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