Uma lata cheia de refrigerante tem 16 cm de altura. Um pequeno furo é feito na parte de baixo da lata, e o refrigerante começa a vazar. Assumindo que a taxa de variação da altura de liquido é proporcional à raiz quadrada da altura de liquido, determine quanto tempo demora para que a lata fique vazia (assuma que a constante de proporcionalidade é -\frac{1}{3} c m^{\frac{1}{2}} s^{-1} ).
Passo 1
O enunciado diz que a altura do líquido na lata, h(t), varia segundo uma lei de Torricelli simplificada, ou seja,
\frac{dh}{dt}\propto -\sqrt{h}.
Temos inicialmente h(0)=16 cm e a constante de proporcionalidade dada é -\tfrac{1}{3}\,\text{cm}^{1/2}\,\text{s}^{-1}. Nosso objetivo é achar o tempo T tal que h(T)=0.
Passo 2
Escrevendo explicitamente a equação diferencial, fica
\frac{dh}{dt}=-\frac{1}{3}\sqrt{h}.
Essa é uma equação de variáveis separáveis, pois podemos colocar todos os termos em h de um lado e todos os termos em t do outro.
Passo 3
Separe as variáveis e integre entre as condições iniciais: