Uma lata cheia de refrigerante tem 16 cm de altura. Um pequeno furo é feito na parte de baixo da lata, e o refrigerante começa a vazar. Assumindo que a taxa de variação da altura de liquido é proporcional à raiz quadrada da altura de liquido, determine quanto tempo demora para que a lata fique vazia (assuma que a constante de proporcionalidade é -\frac{1}{3} c m^{\frac{1}{2}} s^{-1} ).

Passo 1

O enunciado diz que a altura do líquido na lata, h(t), varia segundo uma lei de Torricelli simplificada, ou seja,
\frac{dh}{dt}\propto -\sqrt{h}.
Temos inicialmente h(0)=16 cm e a constante de proporcionalidade dada é -\tfrac{1}{3}\,\text{cm}^{1/2}\,\text{s}^{-1}. Nosso objetivo é achar o tempo T tal que h(T)=0.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a equação diferencial, fica
\frac{dh}{dt}=-\frac{1}{3}\sqrt{h}.
Essa é uma equação de variáveis separáveis, pois podemos colocar todos os termos em h de um lado e todos os termos em t do outro.

Passo 3

Separe as variáveis e integre entre as condições iniciais:
\frac{dh}{\sqrt{h}} =-\frac{1}{3}\,dt.
Integramos de h=16 até h=0 e de t=0 até t=T:
\int_{16}^{0}h^{-1/2}\,dh \;=\;- \frac{1}{3}\int_{0}^{T}dt.

Passo 4

Calcule cada integral. No lado esquerdo,
\int h^{-1/2}\,dh =2\,h^{1/2},
então
2\,h^{1/2}\Big|_{16}^{0} =2\,(0-4) =-8.
No lado direito,
-\,\frac{1}{3}\int_{0}^{T}dt =-\frac{1}{3}\,T.
Igualando os dois resultados,
-8=-\frac{1}{3}T \quad\Longrightarrow\quad T=24.

Resposta

O tempo para a lata esvaziar completamente é 24 s.

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