Considere a equação:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+3 y^{2}}{2 x y}
(a) Classifique a equação quanto a ordem e linearidade.
(b) Determine se a equação é exata. Justifique sua resposta.
(c) Encontre a família de soluções da equação dada.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2} + 3y^{2}}{2xy}
e pede:
(a) classificar em ordem e linearidade;
(b) verificar se é exata;
(c) encontrar a família geral de soluções.

Passo 2

Para classificar, note que só aparece \frac{dy}{dx}, sem derivadas de ordem superior, logo é de primeira ordem. Não se escreve no formato \frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x) nem \frac{dy}{dx}+P(y)\,x=Q(y), pois há termos \frac{1}{y} e y^2. Portanto é não linear.

Passo 3

Escrevemos em forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
onde
M(x,y) = x^{2}+3y^{2}, \quad N(x,y) = -2xy.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 6y, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = -2y.
Como 6y \neq -2y em geral, a equação não é exata.

Passo 4

Observamos que o quociente \frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy} é homogêneo de grau zero (se x\mapsto tx, y\mapsto ty, não muda). Então fazemos a substituição
y = u\,x \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}.
No lado direito
\frac{x^{2}+3y^{2}}{2xy} = \frac{x^{2}+3u^{2}x^{2}}{2x\,(u\,x)} = \frac{1+3u^{2}}{2u}.
Igualando, vem
u + x\frac{du}{dx} = \frac{1+3u^{2}}{2u}.

Passo 5

Isolando \frac{du}{dx},
x\frac{du}{dx} = \frac{1+3u^{2}}{2u} - u = \frac{1+3u^{2}-2u^{2}}{2u} = \frac{1+u^{2}}{2u},
\frac{du}{dx} = \frac{1+u^{2}}{2u\,x}.
Isso é separável:
\int \frac{2u}{1+u^{2}}\,du = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl(1+u^{2}\bigr) = \ln|x| + C.
Logo
1+u^{2} = K\,x,
com K=e^{C}. Substituindo u=y/x,
1 + \frac{y^{2}}{x^{2}} = Kx \quad\Longrightarrow\quad \frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}} = Kx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2} = C\,x^{3},
onde renomeamos K\to C.

Resposta

(a) É de primeira ordem e não linear.
(b) Não é exata, pois \partial M/\partial y =6y\neq -2y=\partial N/\partial x.
(c) A família de soluções implícita é
x^{2} + y^{2} = C\,x^{3},
com C constante arbitrária.

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