Considere a equação:
(a) Classifique a equação quanto a ordem e linearidade.
(b) Determine se a equação é exata. Justifique sua resposta.
(c) Encontre a família de soluções da equação dada.
(b) Determine se a equação é exata. Justifique sua resposta.
(c) Encontre a família de soluções da equação dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede:
(a) classificar em ordem e linearidade;
(b) verificar se é exata;
(c) encontrar a família geral de soluções.
(a) classificar em ordem e linearidade;
(b) verificar se é exata;
(c) encontrar a família geral de soluções.
Passo 2
Para classificar, note que só aparece
, sem derivadas de ordem superior, logo é de primeira ordem. Não se escreve no formato
nem
, pois há termos
e
. Portanto é não linear.
Passo 3
Escrevemos em forma diferencial
onde
Calculamos
Como
em geral, a equação não é exata.
Passo 4
Observamos que o quociente
é homogêneo de grau zero (se
,
, não muda). Então fazemos a substituição
No lado direito
Igualando, vem
Passo 5
Isolando
,
Isso é separável:
Logo
com
. Substituindo
,
onde renomeamos
.
Resposta
(a) É de primeira ordem e não linear.
(b) Não é exata, pois .
(c) A família de soluções implícita é
(b) Não é exata, pois
(c) A família de soluções implícita é
com
constante arbitrária.