Sobre função f(x)=\operatorname{sec} (x), quais afirmativas são verdadeiras e quais são falsas?
\square É uma função par.
F - O intervalo \left[0, \frac{\pi}{2}\right) está contido em seu maior domínio possível.
v - O conjunto \left\{x \in \mathbb{R} \left\lvert\, x=\frac{\pi}{2}+n \pi\right., n \in \mathbb{N}\right\} não faz parte do seu maior domínio possível.
F - Seu maior domínio possível é todos os reais.

Passo 1

O enunciado nos pede para classificar como verdadeiras ou falsas quatro afirmações sobre a função
f(x)=\operatorname{sec}(x).
O conteúdo envolvido é a paridade de funções e o domínio de definição de f. Vamos usar a propriedade de simetria do cosseno para a paridade e saber que \operatorname{sec}(x) só existe quando \cos(x)\neq0.

Passo 2

Para testar a paridade, calculamos
\operatorname{sec}(-x)=\frac{1}{\cos(-x)}=\frac{1}{\cos(x)}=\operatorname{sec}(x).
Como \operatorname{sec}(-x)=\operatorname{sec}(x) para todo x onde a função está definida, concluímos que \operatorname{sec}(x) é uma função par (afirmação 1 é verdadeira).

Passo 3

O maior domínio possível de \operatorname{sec}(x) é
\Dom(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid \cos(x)\neq0\} =\mathbb{R}\setminus\{\,\tfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}.

Passo 4

Verificamos se o intervalo \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) está contido em \Dom(f). Para x\in\bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) temos \cos(x)>0, logo \cos(x)\neq0. Como o ponto x=\tfrac{\pi}{2} não está incluído, todo \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) pertence mesmo ao domínio. Portanto, a afirmação 2 é verdadeira.

Passo 5

O conjunto \{x\in\mathbb{R}\mid x=\tfrac{\pi}{2}+n\pi,\;n\in\mathbb{N}\} coincide com pontos onde \cos(x)=0 (alguns deles, para n\ge1). Esses valores não pertencem ao domínio de \operatorname{sec}(x). Logo, a afirmação 3 é verdadeira.

Passo 6

Como vimos, \Dom(f)\neq\mathbb{R} (faltam os pontos \tfrac{\pi}{2}+k\pi), a afirmação 4 é falsa.

Resposta

(a) É uma função par. Verdadeira.
(b) O intervalo \bigl[0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) está contido em seu maior domínio possível. Verdadeira.
(c) O conjunto \{x\in\mathbb{R}\mid x=\tfrac{\pi}{2}+n\pi,\;n\in\mathbb{N}\} não faz parte do seu maior domínio possível. Verdadeira.
(d) Seu maior domínio possível é todos os reais. Falsa.

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