Mostre que se a in(0,1) cup(1, infty) e f(x)=a^2, vale:
f(x+h)-f(x)h=a^x(u^h-1h)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se $ a $ está no intervalo $ (0,1) \cup (1, \infty) $ e definimos a função $ f(x) = a^{x} $, então vale:
a
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e com o conceito de derivada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para entender como uma função muda quando sua variável muda um pouquinho. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ f(x+h) $. Substituindo na função $ f(x) = a^{x} $, temos:
f(x+h)

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença $ f(x+h) - f(x) $:
f(x+h) - f(x)

Passo 4

Lembre-se que $ a^{x+h} $ pode ser reescrito como $ a^{x} \cdot a^{h} $ devido às propriedades das potências. Então:
a^x+h
Portanto, substituindo na equação anterior:
a^x cdot a^h

Passo 5

Agora, vamos dividir essa diferença por $ h $:
h

Passo 6

Finalmente, podemos reorganizar os termos para deixar claro o fator comum $ a^{x} $:
a^x

Resposta

Assim, mostramos que:
f(x+h)-f(x)h = a^x(a^h-1h)

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