Mostre que se
e
, vale:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que, se $ a $ está no intervalo $ (0,1) \cup (1, \infty) $ e definimos a função $ f(x) = a^{x} $, então vale:
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e com o conceito de derivada, que é uma ferramenta fundamental no cálculo para entender como uma função muda quando sua variável muda um pouquinho. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ f(x+h) $. Substituindo na função $ f(x) = a^{x} $, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular a diferença $ f(x+h) - f(x) $:
Passo 4
Lembre-se que $ a^{x+h} $ pode ser reescrito como $ a^{x} \cdot a^{h} $ devido às propriedades das potências. Então:
Portanto, substituindo na equação anterior:
Passo 5
Agora, vamos dividir essa diferença por $ h $:
Passo 6
Finalmente, podemos reorganizar os termos para deixar claro o fator comum $ a^{x} $:
Resposta
Assim, mostramos que: