Uma lata cilíndrica sem tampa deve ter volume pi cm^3. Qual o diâmetro da base que minimiza a quantidade de material necessário para confeccioná-la?
(a) 1 / 2
© 1
© raiz[3]2 pi
(d) pi
(E) NRA

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro da base de uma lata cilíndrica sem tampa com volume pi cm³ que minimize a área de material usado. Vamos aplicar otimização de funções: volume de cilindro e área de superfície sem tampa.

Passo 2

Escrevemos as fórmulas: volume V=pi r^2h e área de material A= área do fundo + área lateral, isto é, A=pi r^2 + 2pi r h Como V=pi, temos pi r^2h=pi, logo r^2h=1 e h=1/r^2. Substituímos em A:
A(r)=pi r^2 + 2pi rcdot1r^2=pi r^2 + 2pi r^-1

Passo 3

Para minimizar, derivamos em relação a r e igualamos a zero:
A'(r)=2pi r -2pi r^-2=0implies r - r^-2=0implies r^3=1implies r=1

Passo 4

O diâmetro é d=2r=2 cm. Como nenhuma opção lista 2, a resposta correta é “nenhuma das alternativas”.

Resposta

(E) NRA

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