Seja f(x)=|x^2-5 x+4|. Qual o valor de f^prime(2) ?
(a) -1
(b) -2
© 1
(d) não existe
(e) NRA

Passo 1

O enunciado pede para achar a derivada de uma função valor absoluto em um ponto específico, então o conteúdo é derivação de função definida por partes (valor absoluto) e vamos precisar usar a definição f(x)=|g(x)| e lembrar que f’(x)=g’(x) ou f’(x)=-g’(x) conforme o sinal de g(x).

Passo 2

Primeiro encontramos onde g(x)=x^2-5x+4 muda de sinal. Resolvendo x^2-5x+4=0 obtemos as raízes x=1 e x=4. Portanto g(x)>0 para x<1 ou x>4, e g(x)<0 para 1<x<4.

Passo 3

Como o ponto x=2 está no intervalo (1,4), temos g(2)<0 e assim f(x)=-g(x) nessa vizinhança. Logo para 1<x<4 escrevemos f(x)=-(x2-5x+4)=-x2+5x-4. Derivando essa expressão obtemos f’(x)=-2x+5.

Passo 4

Substituindo x=2 em f’(x) temos f’(2)=-2⋅2+5=-4+5=1, ou seja a derivada existe e vale 1.

Resposta

1

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