O enunciado pede para achar a derivada de uma função valor absoluto em um ponto específico, então o conteúdo é derivação de função definida por partes (valor absoluto) e vamos precisar usar a definição f(x)=|g(x)| e lembrar que f’(x)=g’(x) ou f’(x)=-g’(x) conforme o sinal de g(x).
Passo 2
Primeiro encontramos onde g(x)=x^2-5x+4 muda de sinal. Resolvendo x^2-5x+4=0 obtemos as raízes x=1 e x=4. Portanto g(x)>0 para x<1 ou x>4, e g(x)<0 para 1<x<4.
Passo 3
Como o ponto x=2 está no intervalo (1,4), temos g(2)<0 e assim f(x)=-g(x) nessa vizinhança. Logo para 1<x<4 escrevemos f(x)=-(x2-5x+4)=-x2+5x-4. Derivando essa expressão obtemos f’(x)=-2x+5.
Passo 4
Substituindo x=2 em f’(x) temos f’(2)=-2⋅2+5=-4+5=1, ou seja a derivada existe e vale 1.