Latas de coca-cola são enchidas num processo automático segundo uma distribuição uniforme no intervalo (em ml) [345,355].
(a) Qual é a probabilidade de uma lata conter mais de 353 ml ?
(b) Qual é a probabilidade de uma lata conter menos de 346 ml ?
(c) Qualquer lata com volume 4 ml abaixo da média pode gerar reclamação do consumidor e com volume 4 ml acima da média pode transbordar no momento de abertura, devido à pressão interna. Qual é a proporção de latas problemáticas?

Passo 1

O enunciado diz que o volume X (em ml) das latas segue uma distribuição uniforme no intervalo [345,355]. Perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de uma lata conter mais de 353 ml?
(b) Qual é a probabilidade de uma lata conter menos de 346 ml?
(c) Qual é a proporção de latas problemáticas, definidas como as com volume 4 ml abaixo da média ou 4 ml acima da média?
Informações relevantes fornecidas:
\text{o intervalo: }[a,b]=[345,355].

Passo 2

Vamos revisar o que é a distribuição uniforme e as fórmulas que vamos usar, num jeito bem prático. Para uma variável aleatória X com distribuição uniforme no intervalo [a,b]:
  • A densidade de probabilidade é constante no intervalo e vale
f(x)=\frac{1}{b-a}\quad\text{para }x\in[a,b].
Aqui a e b são os extremos do intervalo e b-a é a largura do intervalo. A ideia intuitiva: todos os volumes entre a e b são igualmente prováveis, então a probabilidade de X cair em qualquer subintervalo [c,d]\subset[a,b] é proporcional ao comprimento desse subintervalo.
  • A probabilidade de X estar entre c e d (com a\le c<d\le b) é
P(c<X<d)=\frac{d-c}{b-a}.
  • A média (esperança) da uniforme é
\mu=\frac{a+b}{2}.
Aqui expliquei cada símbolo: f(x) é a densidade; a,b extremos; c,d extremos do subintervalo; b-a largura do intervalo; \mu é a média.

Passo 3

Aplicando aos números do problema:
a=345,\qquad b=355,\qquad b-a=355-345=10.
A média é
\mu=\frac{a+b}{2}=\frac{345+355}{2}=\frac{700}{2}=350.
Portanto a média é 350 ml. Vou usar essas quantidades nas contas.

Passo 4

(a) Queremos P(X>353). Como 353 está entre a e b, podemos usar a fórmula de comprimento da cauda:
P(X>353)=\frac{b-353}{b-a}=\frac{355-353}{10}.
Calculando:
P(X>353)=\frac{2}{10}=0{,}2.
Interpretando: 0{,}2 é 20\%.

Passo 5

(b) Queremos P(X<346). Como 346 está entre a e b, usamos:
P(X<346)=\frac{346-a}{b-a}=\frac{346-345}{10}.
Calculando:
P(X<346)=\frac{1}{10}=0{,}1.
Ou seja 10\%.

Passo 6

(c) Latas problemáticas: volume 4 ml abaixo da média (ou seja <\mu-4) ou 4 ml acima da média (ou seja >\mu+4). Como \mu=350, esses limites são
\mu-4=350-4=346,\qquad \mu+4=350+4=354.
Portanto o evento “problemática” é X<346 ou X>354. Essas duas situações são desjuntas, então a probabilidade total é a soma das probabilidades das duas caudas:
P(\text{problemática})=P(X<346)+P(X>354).á
Já calculamos P(X<346)=0{,}1. Agora
P(X>354)=\frac{355-354}{10}=\frac{1}{10}=0{,}1.
Somando:
P(\text{problemática})=0{,}1+0{,}1=0{,}2.á
Ou seja 20\% das latas são problemáticas.

Resposta

(a) 0{,}2 (20%)
(b) 0{,}1 (10%)
(c) 0{,}2 (20%)

Exercícios relacionados