Latas de coca-cola são enchidas num processo automático segundo uma distribuição uniforme no intervalo (em ml) [345,355].
(a) Qual é a probabilidade de uma lata conter mais de 353 ml ?
(b) Qual é a probabilidade de uma lata conter menos de 346 ml ?
(c) Qualquer lata com volume 4 ml abaixo da média pode gerar reclamação do consumidor e com volume 4 ml acima da média pode transbordar no momento de abertura, devido à pressão interna. Qual é a proporção de latas problemáticas?
(a) Qual é a probabilidade de uma lata conter mais de 353 ml ?
(b) Qual é a probabilidade de uma lata conter menos de 346 ml ?
(c) Qualquer lata com volume 4 ml abaixo da média pode gerar reclamação do consumidor e com volume 4 ml acima da média pode transbordar no momento de abertura, devido à pressão interna. Qual é a proporção de latas problemáticas?
Passo 1
O enunciado diz que o volume
(em ml) das latas segue uma distribuição uniforme no intervalo
. Perguntas:
(a) Qual é a probabilidade de uma lata conter mais de ml?
(b) Qual é a probabilidade de uma lata conter menos de ml?
(c) Qual é a proporção de latas problemáticas, definidas como as com volume ml abaixo da média ou
ml acima da média?
(a) Qual é a probabilidade de uma lata conter mais de
(b) Qual é a probabilidade de uma lata conter menos de
(c) Qual é a proporção de latas problemáticas, definidas como as com volume
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Vamos revisar o que é a distribuição uniforme e as fórmulas que vamos usar, num jeito bem prático. Para uma variável aleatória
com distribuição uniforme no intervalo
:
- A densidade de probabilidade é constante no intervalo e vale
Aqui
e
são os extremos do intervalo e
é a largura do intervalo. A ideia intuitiva: todos os volumes entre
e
são igualmente prováveis, então a probabilidade de
cair em qualquer subintervalo
é proporcional ao comprimento desse subintervalo.
- A probabilidade de
estar entre e (com ) é
- A média (esperança) da uniforme é
Aqui expliquei cada símbolo:
é a densidade;
extremos;
extremos do subintervalo;
largura do intervalo;
é a média.
Passo 3
Aplicando aos números do problema:
A média é
Portanto a média é
ml. Vou usar essas quantidades nas contas.
Passo 4
(a) Queremos
. Como
está entre
e
, podemos usar a fórmula de comprimento da cauda:
Calculando:
Interpretando:
é
.
Passo 5
(b) Queremos
. Como
está entre
e
, usamos:
Calculando:
Ou seja
.
Passo 6
(c) Latas problemáticas: volume
ml abaixo da média (ou seja
) ou
ml acima da média (ou seja
). Como
, esses limites são
Portanto o evento “problemática” é
ou
. Essas duas situações são desjuntas, então a probabilidade total é a soma das probabilidades das duas caudas:
Já calculamos
. Agora
Somando:
Ou seja
das latas são problemáticas.
Resposta
(a)
(20%)
(b) (10%)
(c) (20%)
(b)
(c)