Seja X uma variável aleatória exponencial com média 4. Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular
.
Informações dadas: é uma variável aleatória exponencial com média
. Ou seja, temos a informação numérica
.
Informações dadas:
Passo 2
Vamos escrever a forma da densidade da distribuição exponencial e lembrar o que cada símbolo significa. A densidade de uma variável exponencial é
onde
é a taxa (parâmetro) da distribuição. Aqui:
-
representa o valor que a variável aleatória pode assumir; -
é a densidade de probabilidade em ; -
controla a “decadência” da função exponencial: quanto maior , mais rápido a densidade cai.
Passo 3
Agora relacionamos a média da exponencial com
. Para a exponencial vale a fórmula da média:
Isso significa que, se
, então
Resolvendo para
obtemos
Passo 4
A probabilidade pedida
é a probabilidade de que a variável exceda
. Para uma variável contínua com densidade
, essa probabilidade é a integral da densidade de
até infinito:
Substituindo a densidade exponencial com
temos
Passo 5
Agora calculamos a integral passo a passo. Primeiro, recorde a primitiva de
com
:
No nosso caso
. Aplicando a primitiva à integral imprópria:
Passo 6
Simplificamos a expressão dentro dos colchetes. Note que
, então:
Portanto a integral vira
Agora avaliamos os limites: quando
,
; e em
temos
. Então
Passo 7
Interpretando o resultado: para uma exponencial com média
(ou seja,
), a probabilidade de que a variável exceda
é exatamente
. Se quiser uma aproximação decimal,