Seja X uma variável aleatória exponencial com média 4. Calcule
\mathrm{P}(\mathrm{X}>1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathrm{P}(\mathrm{X}>1).
Informações dadas: \mathrm{X} é uma variável aleatória exponencial com média 4. Ou seja, temos a informação numérica \text{E}[\mathrm{X}]=4.

Passo 2

Vamos escrever a forma da densidade da distribuição exponencial e lembrar o que cada símbolo significa. A densidade de uma variável exponencial é
f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\quad\text{para }\;x\ge 0,
onde \lambda>0 é a taxa (parâmetro) da distribuição. Aqui:
  • x representa o valor que a variável aleatória \mathrm{X} pode assumir;
  • f(x) é a densidade de probabilidade em x;
  • \lambda controla a “decadência” da função exponencial: quanto maior \lambda, mais rápido a densidade cai.

Passo 3

Agora relacionamos a média da exponencial com \lambda. Para a exponencial vale a fórmula da média:
\text{E}[\mathrm{X}]=\frac{1}{\lambda}.
Isso significa que, se \text{E}[\mathrm{X}]=4, então
\frac{1}{\lambda}=4.
Resolvendo para \lambda obtemos
\lambda=\frac{1}{4}.

Passo 4

A probabilidade pedida \mathrm{P}(\mathrm{X}>1) é a probabilidade de que a variável exceda 1. Para uma variável contínua com densidade f, essa probabilidade é a integral da densidade de 1 até infinito:
\mathrm{P}(\mathrm{X}>1)=\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx.
Substituindo a densidade exponencial com \lambda=\tfrac{1}{4} temos
\mathrm{P}(\mathrm{X}>1)=\int_{1}^{\infty} \frac{1}{4}e^{-\frac{1}{4}x}\,dx.

Passo 5

Agora calculamos a integral passo a passo. Primeiro, recorde a primitiva de e^{-ax} com a>0:
\int e^{-ax}\,dx = -\frac{1}{a}e^{-ax} + C.
No nosso caso a=\tfrac{1}{4}. Aplicando a primitiva à integral imprópria:
\int_{1}^{\infty} \frac{1}{4}e^{-\frac{1}{4}x}\,dx = \left[ \frac{1}{4}\left(-\frac{1}{\frac{1}{4}}e^{-\frac{1}{4}x}\right)\right]_{x=1}^{x\to\infty}.

Passo 6

Simplificamos a expressão dentro dos colchetes. Note que -\dfrac{1}{\frac{1}{4}}=-4, então:
\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{\frac{1}{4}}e^{-\frac{1}{4}x}\right)=\frac{1}{4}(-4)e^{-\frac{1}{4}x}=-e^{-\frac{1}{4}x}.
Portanto a integral vira
\mathrm{P}(\mathrm{X}>1)=\left[ -e^{-\frac{1}{4}x} \right]_{1}^{\infty}.
Agora avaliamos os limites: quando x\to\infty, e^{-\frac{1}{4}x}\to 0; e em x=1 temos e^{-\frac{1}{4}}. Então
\mathrm{P}(\mathrm{X}>1)=\bigl(0\bigr)-\bigl(-e^{-\frac{1}{4}}\bigr)=e^{-\frac{1}{4}}.

Passo 7

Interpretando o resultado: para uma exponencial com média 4 (ou seja, \lambda=\tfrac{1}{4}), a probabilidade de que a variável exceda 1 é exatamente e^{-1/4}. Se quiser uma aproximação decimal,
e^{-\frac{1}{4}}\approx 0,7788.

Resposta

\mathrm{P}(\mathrm{X}>1)=e^{-\frac{1}{4}}\approx 0,7788

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