Assuma que movimento do preço do Barril de petróleo § oscile uniformemente durante um dia entre U$45.00 e U$ 50.00:
(a) Obtenha a função de densidade de probabilidades de P;
(b) Qual a probabilidade de o preço do Barril de petróleo ser inferior a \ 48.00$ ?
(c) Qual o preço esperado do Barril de petróleo?
Passo 1
Aqui está o que o enunciado nos dá e o que pede, bem explicadinho para a gente não se perder: \n
Dados fornecidos: o preço do barril de petróleo P oscila uniformemente durante um dia entre \$\,45{,}00 e \$\,50{,}00. Ou seja, P fica sempre no intervalo fechado [45,50] e a oscilação é “uniforme” (mesma chance para qualquer subintervalo de mesmo comprimento). \n
Perguntas do enunciado: \n
(a) Obter a função densidade de probabilidade de P. \n
(b) Calcular a probabilidade de o preço ser inferior a \$\,48{,}00. \n
(c) Calcular o preço esperado do barril (ou seja, a esperança matemática E[P]). \n
Não vou começar a resolver ainda — só identifiquei tudo que precisamos.
Passo 2
Entendendo o que significa “variável contínua com distribuição uniforme” e a fórmula da densidade: \n
Conceito rápido e intuitivo: dizer que P\) é uniforme em \([a,b]\) significa que qualquer subintervalo de mesmo comprimento dentro de \([a,b]\) tem a mesma probabilidade. Geometricamente, a densidade é uma "reta" horizontal sobre \([a,b]\) cuja área total é \(1\) (porque a probabilidade total é \(1\)). \n
- Fórmula geral da função densidade para a uniforme contínua em \([a,b]\): \[f_X(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\le x\le b,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Explicando os símbolos: \n
f_X(x)\] é a função densidade da variável \(X. \n
a e b são os extremos do intervalo (com a<b). \n
O número \dfrac{1}{b-a} é escolhido para que a integral da densidade sobre todo o eixo real seja 1: \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)\,dx = \int_a^b \dfrac{1}{b-a}\,dx = \dfrac{1}{b-a}(b-a)=1. \n
Aplicando ao nosso caso: aqui a=45 e b=50. Portanto a densidade será constante igual a \dfrac{1}{50-45}=\dfrac{1}{5} no intervalo [45,50].]
Passo 3
Escrevendo explicitamente a função densidade de P\) (resposta do item (a)) e comentando um pouco: \[f_P(p)=\begin{cases} \dfrac{1}{5}, & 45\le p\le 50,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}
Comentário didático: isso significa que, por exemplo, a probabilidade de P\] cair num subintervalo de comprimento \(1 (por exemplo, entre 46 e 47) é simplesmente \dfrac{1}{5}\times 1 = \dfrac{1}{5}. A probabilidade é proporcional ao comprimento do subintervalo.]
Passo 4
Agora vamos calcular a probabilidade pedida no item (b): "Qual a probabilidade de o preço ser inferior a \$\,48{,}00\?" \n
Interpretação: queremos \mathbb{P}(P<48). Para uma variável contínua não faz diferença < ou \le, então podemos usar integral da densidade desde 45 até 48. \n
Cálculo com integral (mostrando o raciocínio passo a passo): \mathbb{P}(P<48)=\int_{-\infty}^{48} f_P(p)\,dp = \int_{45}^{48} \dfrac{1}{5}\,dp,
porque fora de [45,50] a densidade é zero. \n
Executando a integral: \int_{45}^{48} \dfrac{1}{5}\,dp = \dfrac{1}{5}\,(48-45)=\dfrac{3}{5}.
Convertendo para decimal/porcentagem: \dfrac{3}{5}=0{,}6, isto é 60\%. \n
Interpretação prática: como 48 está a 3 unidades acima do mínimo 45 num intervalo total de 5, a fração do tempo em que o preço fica abaixo de 48 é 3/5.
Passo 5
Agora o item (c): calcular o preço esperado E[P]. Vou ensinar a fórmula e mostrar a derivação integral para você não ficar na dúvida. \n
Fórmula conhecida para a uniforme em [a,b]: E[X]=\dfrac{a+b}{2}.
Explicando por quê (derivação por integral): E[P]=\int_{-\infty}^{\infty} p\,f_P(p)\,dp = \int_{45}^{50} p\cdot \dfrac{1}{5}\,dp = \dfrac{1}{5}\left[\dfrac{p^2}{2}\right]_{45}^{50}.
Calculando o trabalho: \dfrac{1}{5}\left(\dfrac{50^2}{2}-\dfrac{45^2}{2}\right)=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{50^2-45^2}{2}=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{(50-45)(50+45)}{2}.
Relação com a fórmula direta: note que \dfrac{a+b}{2}=\dfrac{45+50}{2}=\dfrac{95}{2}=47{,}5. Intuitivamente, o valor esperado da uniforme é o ponto médio do intervalo.
Passo 6
Pequeno resumo de como fazer isso rápido na prova (dica amiga): \n
Para uniforme [a,b]: densidade é 1/(b-a) no intervalo e 0 fora. \n
Para P<P_0 com a\le P_0\le b: probabilidade é (P_0-a)/(b-a). \n
Esperança é (a+b)/2. \n
Você já pode decorar essas três fórmulas; ajudam muito em questões rápidas.