[Lathi, 2007, ex. 5.1-1] Usando a definição, calcule a transformada
de
. Trace os polos e zeros de
no plano Z.
Dica:
Dica:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a transformada Z de uma função discreta $ x[n] = (-1)^n (u[n] - u[n-8]) $ e depois traçar os polos e zeros de $ X(z) $ no plano Z. A matéria envolvida aqui é a Transformada Z, que é super útil para analisar sistemas discretos em sinal e sistemas. Para resolver, vamos precisar entender o que é a Transformada Z, como aplicar a definição dela e usar a dica que foi dada para somar séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada Z. A Transformada Z de uma sequência $ x[n] $ é definida como:
No nosso caso, a sequência $ x[n] = (-1)^n (u[n] - u[n-8]) $ é não nula apenas para $ n $ de 0 a 7, porque a função $ u[n] - u[n-8] $ é igual a 1 nesse intervalo e 0 fora dele.
Passo 3
Então, podemos reescrever a transformada Z como uma soma finita:
Agora, vamos usar a dica que foi dada: a soma de uma série geométrica finita é:
Aqui, nosso $ a $ é $ -z^{-1} $, porque temos $ (-1)^n z^{-n} = (-z{-1})n $.
Passo 4
Aplicando essa fórmula, temos:
Simplificando $ (-z{-1}){8} $ dá $ z^{-8} $, já que $ (-1)^8 = 1 $.
Passo 5
Então, a expressão fica:
Para facilitar a visualização dos polos e zeros, vamos multiplicar numerador e denominador por $ z^{8} $:
Passo 6
Agora, podemos fatorar tanto o numerador quanto o denominador. O numerador $ z^{8} - 1 $ pode ser fatorado como:
E o denominador $ z^{8} + z^{7} = z^{7}(z + 1) $.
Passo 7
Simplificando a fração, notamos que $ z + 1 $ aparece no numerador e denominador, então cancela:
Agora, podemos identificar os zeros e os polos.
Passo 8
Os zeros de $ X(z) $ são os valores de $ z $ que anulam o numerador, ou seja, $ z = 1 $, $ z = -1 $, e as raízes de $ z^{2} + 1 = 0 $ e $ z^{4} + 1 = 0 $. Isso dá:
- Zero em $ z = 1 $
- Zero em $ z = -1 $
- Zeros em $ z = j $ e $ z = -j $ (onde $ j $ é a unidade imaginária)
- Zeros nos quatro valores de $ z $ tais que $ z^{4} = -1 $, que são $ z = e^{j\pi/4}, e^{j3\pi/4}, e^{j5\pi/4}, e^{j7\pi/4} $
Os polos de $ X(z) $ são os valores de $ z $ que anulam o denominador, que no caso é $ z^{7} = 0 $. Isso significa que todos os polos estão em $ z = 0 $, com multiplicidade 7.
Resposta
A transformada Z de $ x[n] = (-1)^{n}(u[n] - u[n-8]) $ é:
No plano Z, $ X(z) $ tem zeros em $ z = 1 $, $ z = -1 $, $ z = j $, $ z = -j $, $ z = e^{j\pi/4} $, $ z = e^{j3\pi/4} $, $ z = e^{j5\pi/4} $, e $ z = e^{j7\pi/4} $. Além disso, possui sete polos localizados em $ z = 0 $.