[Lathi, 2007, ex. 5.1-1] Usando a definição, calcule a transformada Z de x[n]=(-1)^n(u[n]- u[n-8]). Trace os polos e zeros de X(z) no plano Z.
Dica: sumn=0^k a^n=1-a^k+11-a

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a transformada Z de uma função discreta $ x[n] = (-1)^n (u[n] - u[n-8]) $ e depois traçar os polos e zeros de $ X(z) $ no plano Z. A matéria envolvida aqui é a Transformada Z, que é super útil para analisar sistemas discretos em sinal e sistemas. Para resolver, vamos precisar entender o que é a Transformada Z, como aplicar a definição dela e usar a dica que foi dada para somar séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Transformada Z. A Transformada Z de uma sequência $ x[n] $ é definida como:
x[n]
No nosso caso, a sequência $ x[n] = (-1)^n (u[n] - u[n-8]) $ é não nula apenas para $ n $ de 0 a 7, porque a função $ u[n] - u[n-8] $ é igual a 1 nesse intervalo e 0 fora dele.

Passo 3

Então, podemos reescrever a transformada Z como uma soma finita:
X(z) = sumn=0^7 (-1)^n z^-n
Agora, vamos usar a dica que foi dada: a soma de uma série geométrica finita é:
sumn=0^k a^n = 1 - a^k+11 - a
Aqui, nosso $ a $ é $ -z^{-1} $, porque temos $ (-1)^n z^{-n} = (-z{-1})n $.

Passo 4

Aplicando essa fórmula, temos:
X(z) = sumn=0^7 (-z^-1)^n = 1 - (-z^-1)^81 - (-z^-1)
Simplificando $ (-z{-1}){8} $ dá $ z^{-8} $, já que $ (-1)^8 = 1 $.

Passo 5

Então, a expressão fica:
X(z) = 1 - z^-81 + z^-1
Para facilitar a visualização dos polos e zeros, vamos multiplicar numerador e denominador por $ z^{8} $:
z^8

Passo 6

Agora, podemos fatorar tanto o numerador quanto o denominador. O numerador $ z^{8} - 1 $ pode ser fatorado como:
z^8 - 1
E o denominador $ z^{8} + z^{7} = z^{7}(z + 1) $.

Passo 7

Simplificando a fração, notamos que $ z + 1 $ aparece no numerador e denominador, então cancela:
z + 1
Agora, podemos identificar os zeros e os polos.

Passo 8

Os zeros de $ X(z) $ são os valores de $ z $ que anulam o numerador, ou seja, $ z = 1 $, $ z = -1 $, e as raízes de $ z^{2} + 1 = 0 $ e $ z^{4} + 1 = 0 $. Isso dá:
  • Zero em $ z = 1 $
  • Zero em $ z = -1 $
  • Zeros em $ z = j $ e $ z = -j $ (onde $ j $ é a unidade imaginária)
  • Zeros nos quatro valores de $ z $ tais que $ z^{4} = -1 $, que são $ z = e^{j\pi/4}, e^{j3\pi/4}, e^{j5\pi/4}, e^{j7\pi/4} $
Os polos de $ X(z) $ são os valores de $ z $ que anulam o denominador, que no caso é $ z^{7} = 0 $. Isso significa que todos os polos estão em $ z = 0 $, com multiplicidade 7.

Resposta

A transformada Z de $ x[n] = (-1)^{n}(u[n] - u[n-8]) $ é:
x[n] = (-1)^n(u[n] - u[n-8])
No plano Z, $ X(z) $ tem zeros em $ z = 1 $, $ z = -1 $, $ z = j $, $ z = -j $, $ z = e^{j\pi/4} $, $ z = e^{j3\pi/4} $, $ z = e^{j5\pi/4} $, e $ z = e^{j7\pi/4} $. Além disso, possui sete polos localizados em $ z = 0 $.

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