[Lathi, 2007, baseado no ex. 5.1-4] Usando apenas a tabela de pares de transformadas Z, determine a transformada Z de cada um dos seguintes sinais:
x[n]=u[n]-u[n-2]
Dicas: Escreva u[n-1] em termos de u[n] e considere cos pi3=12

Passo 1

O exercício dá o sinal x[n]=u[n]−u[n−2] e pede a transformada Z usando somente a tabela de pares e a propriedade de deslocamento no tempo. Vamos usar que estamos estudando Transformada Z de sinais discretos e precisaremos da transformada do degrau u[n] e da propriedade de deslocamento.

Passo 2

Na tabela de transformadas Z, sabemos que
Zu[n]=sumn=0^inftyz^-n=11-z^-1,|z|>1

Passo 3

Para a segunda parte, usamos a propriedade de deslocamento no tempo: se y[n]=x[n-k], então Z{y[n]}=z^{-k}X(z). Aqui x[n]=u[n] e k=2, logo
Zu[n-2]=z^-2Zu[n]= z^-21-z^-1

Passo 4

Agora aplicamos linearidade da Transformada Z para x[n]=u[n]−u[n−2]:
X(z)=Zu[n]-Zu[n-2]=11-z^-1-z^-21-z^-1=1-z^-21-z^-1

Passo 5

Para simplificar, note que 1−z{-2}=(1−z{-1})(1+z^{-1}). Cancelando no numerador e denominador, obtemos
X(z)=1+z^-1, válido para |z|>1.

Resposta

X(z)=1+z^-1,com região de convergência |z|>1ãê

Exercícios relacionados