[Lathi, 2007, ex. 4.3-6] Para cada um dos sistemas especificados pelas seguintes funções de transferência, determine a equação diferencial que relaciona a saída y(t) com a entrada x(t), assumindo que os sistemas são controláveis e observáveis:
H(s)=s+5s^2+3 s+8

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência H(s)=\frac{s+5}{s^{2}+3s+8} e pede a equação diferencial que relaciona y(t) a x(t). O conteúdo é transformada de Laplace e EDOs lineares de 2ª ordem, e vamos usar Y(s)=Ly(t) e X(s)=Lx(t), além das propriedades Ly'(t)=sY(s) e Ly''(t)=s^2Y(s).

Passo 2

A partir de H(s)=Y(s)/X(s), multiplicamos em ambos os lados pelo denominador para obter
(s^2+3s+8)Y(s)=(s+5)X(s)

Passo 3

Aplicamos a transformada inversa de Laplace usando s^2Y(s)to y''(t), sY(s)to y'(t) e de modo análogo para X(s). Assim chegamos à equação
y''(t)+3y'(t)+8y(t)=x'(t)+5x(t)

Resposta

A equação diferencial que relaciona y(t) e x(t) é:
y''(t)+3y'(t)+8y(t)=x'(t)+5x(t)

Exercícios relacionados