[Lathi, 2007, ex. 4.3-6] Para cada um dos sistemas especificados pelas seguintes funções de transferência, determine a equação diferencial que relaciona a saída y(t) com a entrada x(t), assumindo que os sistemas são controláveis e observáveis:
H(s)=s^2+3 s+5s^3+8 s^2+5 s+7

Passo 1

Resumo do problema: temos a função de transferência
ao domínio de Laplace
H(s)=s^2+3s+5s^3+8s^2+5s+7
e queremos achar a equação diferencial que relaciona a saída y(t) com a entrada x(t). O ponto-chave é usar que
em Laplace
H(s)=Y(s)X(s)
e que multiplicar por s^n no domínio de Laplace corresponde a derivar de ordem n no tempo.

Passo 2

Vamos multiplicar ambos os lados por
a função denominadora para ficar só com produtos de polinômios por Y(s) ou X(s):
(s^3+8s^2+5s+7),Y(s)= (s^2+3s+5),X(s)

Passo 3

Agora aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo. Usamos que
  • s^3Y(s) vira d^3ydt^3,
  • s^2Y(s) vira d^2ydt^2,
  • sY(s) vira dydt,
  • e o mesmo para os termos em X(s).
Dessa forma chegamos a uma equação diferencial ordinária de terceira ordem que relaciona y(t) e x(t).

Resposta

d^3ydt^3+8d^2ydt^2+5dydt+7y(t)=d^2xdt^2+3dxdt+5x(t)

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