[Oppenheim et al., 1996, ex. 9.15] Considere dois sinais
e
definidos à direita e relacionados através das seguintes equações diferenciais
e
Determine
e
em conjunto com suas regiões de convergência.
Passo 1
O enunciado dá duas equações diferenciais que relacionam dois sinais causais x(t) e y(t), e pede para encontrarmos as transformadas de Laplace X(s) e Y(s) junto com suas regiões de convergência. O conteúdo principal aqui é a transformada de Laplace de derivadas e o uso de condições iniciais (assumidas nulas para sinais à direita).
Passo 2
Aplicamos a propriedade da transformada de Laplace de derivadas, lembrando que para sinal causal e CI nulas (
x(0^-) = y(0^-) = 0
) e que L{δ(t)} = 1. Ao transformar as duas equações, obtemos:
[s X(s) = -2 Y(s) + 1]
[e]
[s Y(s) = 2 X(s)]
Passo 3
Do sistema algébrico obtido, isolamos Y(s) da segunda equação e substituímos na primeira. Da segunda equação vem
[Y(s) = \frac{2 X(s)}{s}]
Substituindo em s X(s) = -2 Y(s) + 1:
s X(s) + 2\frac{2 X(s)}{s} = 1
Multiplicando tudo por s:
s^2 X(s) + 4 X(s) = s
Logo
[X(s) = \frac{s}{s^2 + 4}]
e então
[Y(s) = \frac{2 X(s)}{s} = \frac{2}{s^2 + 4}].
Passo 4
Como x(t) e y(t) são sinais causais (definidos para t ≥ 0), a região de convergência de ambas as transformadas é Re(s) > 0.
Resposta
X(s) = \frac{s}{s^2 + 4}, ROC: Re(s) > 0; Y(s) = \frac{2}{s^2 + 4}, ROC: Re(s) > 0