[Lathi, 2007, baseado no ex. 5.3-23] Determine h[n], a resposta ao impulso unitário, dos sistemas descritos pelas seguintes equações:
y[n]+y[n-2]=x[n-1]

Passo 1

O sistema é LTI e é definido pela equação em diferenças y[n] + y[n-2] = x[n-1]. Como queremos a resposta ao impulso, vamos definir x[n] = δ[n] e y[n] = h[n] e resolver para h[n].

Passo 2

Substituindo x[n] = δ[n] e y[n] = h[n] na equação do sistema, obtemos:
h[n] + h[n-2] = δ[n-1]

Passo 3

Para n<0 vale h[n]=0 (causalidade). Agora aplicamos recursão para n≥0:
• n=0: h[0] + h[-2] = δ[-1]=0 ⇒ h[0]=0
• n=1: h[1] + h[-1] = δ[0]=1 ⇒ h[1]=1
• n=2: h[2] + h[0] = δ[1]=0 ⇒ h[2]=0
• n=3: h[3] + h[1] = δ[2]=0 ⇒ h[3]=-1
• n=4: h[4] + h[2] = δ[3]=0 ⇒ h[4]=0
• n=5: h[5] + h[3] = δ[4]=0 ⇒ h[5]=1
E assim por diante.

Passo 4

Observamos o padrão: h[n]=0 sempre que n for par ou n<0. Para n ímpar, escrevemos n=2k+1 e vemos que h[2k+1]=(-1)^k.
Podemos então expressar a resposta ao impulso como um trem de deltas em instantes ímpares com sinal alternado:

Resposta

h[n]=sumk=0^infty(-1)^k,de

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