[Lathi, 2007, baseado no ex. 5.1-5] Determine a transformada
inversa dos seguintes sinais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada Z inversa de $ X(z) = \frac{1 - 4 z^{-1}}{1 - 5 z^{-1} + 6 z^{-2}} $. Isso faz parte do conteúdo de transformadas Z, que é uma ferramenta usada para analisar sinais e sistemas no domínio discreto. Para resolver isso, vamos precisar manipular frações algébricas e utilizar propriedades das transformadas Z inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a aplicação da transformada inversa. Podemos reescrever $ X(z) $ multiplicando numerador e denominador por $ z^{2} $:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o denominador para simplificar ainda mais a expressão. O denominador $ z^{2} - 5 z + 6 $ pode ser fatorado como:
Então, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos realizar a divisão do numerador pelo denominador para separar em frações simples. Dividindo $ z^{2} - 4 z $ por $ z^{2} - 5 z + 6 $:
Então:
Passo 5
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo:
Agrupando os termos:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação: $ A = 1 - B $.
Substituindo na segunda equação:
Então, $ A = 1 - 3 = -2 $.
Portanto:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão de $ X(z) $:
Agora, vamos aplicar a transformada Z inversa a cada termo separadamente.
Passo 8
Sabemos que a transformada Z inversa de $ \frac{1}{z - a} $ é $ a^{n} u[n] $, onde $ u[n] $ é a função degrau unitário.
Aplicando isso:
Para o termo constante $ 1 $, a transformada Z inversa é $ \delta[n] $, a sequência impulso de Kronecker.
Passo 9
Então, juntando tudo:
Podemos simplificar combinando os termos com $ u[n] $:
Resposta
A transformada Z inversa de $ X(z) $ é: