[Lathi, 2007, baseado no ex. 5.1-5] Determine a transformada Z inversa dos seguintes sinais:
X(z)=1-4 z^-11-5 z^-1+6 z^-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a transformada Z inversa de $ X(z) = \frac{1 - 4 z^{-1}}{1 - 5 z^{-1} + 6 z^{-2}} $. Isso faz parte do conteúdo de transformadas Z, que é uma ferramenta usada para analisar sinais e sistemas no domínio discreto. Para resolver isso, vamos precisar manipular frações algébricas e utilizar propriedades das transformadas Z inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a aplicação da transformada inversa. Podemos reescrever $ X(z) $ multiplicando numerador e denominador por $ z^{2} $:
X(z)

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador para simplificar ainda mais a expressão. O denominador $ z^{2} - 5 z + 6 $ pode ser fatorado como:
z^2 - 5 z + 6
Então, temos:
z^2 - 5 z + 6 = (z - 2)(z - 3)

Passo 4

Em seguida, vamos realizar a divisão do numerador pelo denominador para separar em frações simples. Dividindo $ z^{2} - 4 z $ por $ z^{2} - 5 z + 6 $:
z^2 - 4 z
Então:
z^2 - 5 z + 6

Passo 5

Agora, vamos decompor a fração z(z - 2)(z - 3) em frações parciais. Queremos encontrar constantes A e B tais que:
z(z - 2)(z - 3) = Az - 2 + Bz - 3
Multiplicando ambos os lados por (z - 2)(z - 3):
z = A(z - 3) + B(z - 2)
Expandindo:
z = A z - 3A + B z - 2B
Agrupando os termos:
z = (A + B) z - (3A + 2B)
Isso nos dá o sistema de equações:
A + B = 1 -3A - 2B = 0

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação: $ A = 1 - B $.
Substituindo na segunda equação:
A = 1 - B
Então, $ A = 1 - 3 = -2 $.
Portanto:
-3(1 - B) - 2B = 0 -3 + 3B - 2B = 0 -3 + B = 0 B = 3

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de $ X(z) $:
X(z)
Agora, vamos aplicar a transformada Z inversa a cada termo separadamente.

Passo 8

Sabemos que a transformada Z inversa de $ \frac{1}{z - a} $ é $ a^{n} u[n] $, onde $ u[n] $ é a função degrau unitário.
Aplicando isso:
1z - a
Para o termo constante $ 1 $, a transformada Z inversa é $ \delta[n] $, a sequência impulso de Kronecker.

Passo 9

Então, juntando tudo:
x[n] = de
Podemos simplificar combinando os termos com $ u[n] $:
u[n]

Resposta

A transformada Z inversa de $ X(z) $ é:
X(z)

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