[Lathi, 2007, baseado no ex. 5.3-23] Determine
, a resposta ao impulso unitário, dos sistemas descritos pelas seguintes equações:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a resposta ao impulso unitário h[n] de um sistema LTI descrito pela equação em diferenças y[n] + 3 y[n−1] + 2 y[n−2] = x[n] + 3 x[n−1]. O conteúdo envolve transformada Z, função de transferência H(z) e expansão em frações parciais.
Passo 2
Aplicamos a transformada Z à equação, lembrando que input x[n]=δ[n] gera X(z)=1 e que o sistema é causal (todas as condições iniciais nulas). Assim temos:
Passo 3
Isolamos a função de transferência H(z)=Y(z)/X(z):
Passo 4
Fatoramos o denominador e aplicamos frações parciais. Primeiro,
Procuramos constantes A e B tais que
Multiplicando em cruz:
Igualando coeficientes obtém-se A=2 e B=−1.
Passo 5
Finalmente, fazemos a transformada Z inversa de cada termo, sabendo que
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Resposta
h[n]=\bigl(2(-1)^n -(-2)^n\bigr)u[n]