[Lathi, 2007, baseado no ex. 5.3-23] Determine h[n], a resposta ao impulso unitário, dos sistemas descritos pelas seguintes equações:
y[n]+3 y[n-1]+2 y[n-2]=x[n]+3 x[n-1]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a resposta ao impulso unitário h[n] de um sistema LTI descrito pela equação em diferenças y[n] + 3 y[n−1] + 2 y[n−2] = x[n] + 3 x[n−1]. O conteúdo envolve transformada Z, função de transferência H(z) e expansão em frações parciais.

Passo 2

Aplicamos a transformada Z à equação, lembrando que input x[n]=δ[n] gera X(z)=1 e que o sistema é causal (todas as condições iniciais nulas). Assim temos:
Y(z)+3z^-1Y(z)+2z^-2Y(z)=X(z)+3z^-1X(z)

Passo 3

Isolamos a função de transferência H(z)=Y(z)/X(z):
H(z)=1+3z^-11+3z^-1+2z^-2

Passo 4

Fatoramos o denominador e aplicamos frações parciais. Primeiro,
1+3z^-1+2z^-2=(1+z^-1)(1+2z^-1)
Procuramos constantes A e B tais que
1+3z^-1(1+z^-1)(1+2z^-1)=A1+z^-1+B1+2z^-1
Multiplicando em cruz:
1+3z^-1=A(1+2z^-1)+B(1+z^-1)
Igualando coeficientes obtém-se A=2 e B=−1.

Passo 5

Finalmente, fazemos a transformada Z inversa de cada termo, sabendo que
Z^-111+az^-1=(-a)^n u[n]
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h[n]=2(-1)^n u[n] - (-2)^n u[n]=l(2(-1)^n -(-2)^nr)u[n]

Resposta

h[n]=\bigl(2(-1)^n -(-2)^n\bigr)u[n]

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