[Lathi, 2007, baseado no ex. 5.1-4] Usando apenas a tabela de pares de transformadas Z, determine a transformada Z de cada um dos seguintes sinais:
Dicas: Escreva
em termos de
e considere
Dicas: Escreva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a transformada Z de um sinal específico: $ x[n] = \left[2^{-n} \cos\left(\frac{\pi n}{3}\right)\right] u[n-1] $. A matéria envolvida aqui é Transformada Z, que é uma ferramenta poderosa para análise de sinais discretos. Para resolver isso, vamos precisar usar a tabela de pares de transformadas Z e algumas propriedades básicas, como expressar $ u[n-1] $ em termos de $ u[n] $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é $ u[n-1] $. A função $ u[n] $ é o sinal impulso unitário, que é 1 para $ n \geq 0 $ e 0 caso contrário. Quando temos $ u[n-1] $, isso significa que o impulso é deslocado para $ n = 1 $. Podemos escrever isso como:
Mas, para simplificar, vamos usar a propriedade de deslocamento no tempo na Transformada Z.
Passo 3
Agora, vamos reescrever o sinal $ x[n] $ usando $ u[n] $. Sabemos que:
Podemos expressar $ u[n-1] $ como um atraso de um passo no tempo:
Assim, o sinal fica:
Passo 4
Vamos simplificar o termo $ 2^{-n} \cos\left(\frac{\pi n}{3}\right) $. Sabemos que coseno pode ser expresso usando a identidade de Euler:
No entanto, para facilitar o processo com a tabela de transformadas Z, vamos utilizar a fórmula da transformada Z para sinais exponenciais modulados por cosseno:
Aqui, $ a = \frac{1}{2} $ e $ \omega = \frac{\pi}{3} $.
Passo 5
Aplicando os valores de $ a $ e $ \omega $ na fórmula:
Sabemos que $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $, então substituindo:
Passo 6
Agora, lembrando que o sinal original tinha um $ z^{-1} $ devido ao deslocamento $ u[n-1] $, devemos multiplicar a transformada que encontramos por $ z^{-1} $:
Simplificando:
Resposta
A transformada Z do sinal $ x[n] = \left[2^{-n} \cos\left(\frac{\pi n}{3}\right)\right] u[n-1] $ é: