[Lathi, 2007, baseado no ex. 5.1-4] Usando apenas a tabela de pares de transformadas Z, determine a transformada Z de cada um dos seguintes sinais:
x[n]=sumk=0^infty k de
Dicas: Escreva u[n-1] em termos de u[n] e considere cos pi3=12

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Z do sinal x[n]=sumk=0^infty k,de. O conteúdo principal é a transformada de Z, e vamos precisar dos pares de tabelas para sequências básicas (como u[n], n,u[n], deslocamento no tempo e modulação por (-1)^n), além de saber escrever u[n-1] em função de u[n].

Passo 2

Primeiro note que o termo de k=0 não contribui (é multiplicado por zero). Então podemos reindexar a soma a partir de k=1, e vemos que x[n] só é diferente de zero quando n=2k-1, e nesse caso vale k=(n+1)/2. Logo para n>=1 ímpar temos
x[n]=n+12,
e para os outros n vale zero. Além disso, só faz efeito para n>=1, ou seja, há um fator u[n-1].

Passo 3

Para isolar a parte ímpar, usamos o fato de que o indicador de n ímpar é (1-(-1)^n)/2. Assim

Passo 4

Agora vamos chamar
x1[n]=(n+1)u[n-1], x2[n]=(n+1)(-1)^n u[n-1]
Pela tabela, sem o deslocamento em n, temos
Z(n+1)u[n] = 1(1-z^-1)^2,
e
Z(n+1)(-1)^n u[n] = 1(1+z^-1)^2
Como u[n-1]=u[n]-de, esses dígitos de n=0 não afetam as partes com fator n+1, então
Zx1[n]=1(1-z^-1)^2-1, Zx2[n]=1(1+z^-1)^2-1

Passo 5

Finalmente
X(z)=Zx[n]=14l[Zx1[n]-Zx2[n]r] =14l(1(1-z^-1)^2-1(1+z^-1)^2r)
Fazendo o simplificação algébrica do numerador comum, chega-se a

Passo 6

Passo 7

X(z)=z^-1l(1-z^-2r)^2,
com região de convergência |z|>1.

Resposta

X(z)=z^-1(1-z^-2)^2,ROC:|z|>1

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