[Lathi, 2007, baseado no ex. 5.1-5] Determine a transformada Z inversa dos seguintes sinais:
X(z)=(e^-2-2) z^-1(1-e^-2 z^-1)(1-2 z^-1)

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Z de
X(z)=(e^-2-2),z^-1(1 - e^-2z^-1)(1 - 2z^-1)
Isso é conteúdo de séries geométricas e frações parciais em z^-1. Vamos assumir sequência causal ( u[n]) e usar expansão em frações parciais.

Passo 2

Queremos escrever
X(z)=(e^-2-2)z^-1(1 - e^-2z^-1)(1 - 2z^-1) = A1 - e^-2z^-1 + B1 - 2z^-1
Para achar A e B multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum.

Passo 3

Multiplicando,
(e^-2-2)z^-1 = A,(1 - 2z^-1) + B,(1 - e^-2z^-1)
Avaliaremos em pontos que anulam cada termo: para B, faça z^-1=tfrac12; para A, faça z^-1=e^2.

Passo 4

Substituindo z^-1=tfrac12 obtém-se B=-1. Substituindo z^-1=e^2 obtém-se A=1. Assim
X(z)=11 - e^-2z^-1 - 11 - 2z^-1

Passo 5

Sabendo que
Z^-1tfrac11 - a,z^-1 = a^n,u[n],
aplicamos para a=e^-2 e a=2. Logo a sequência no tempo é
x[n]=e^-2nu[n] - 2^n u[n]

Resposta

x[n] = (e^{-2n} - 2^n),u[n]

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