(LATHI, Problema 2.2-8, p. 215) Um sistema é descrito por uma equação linear diferencial com coeficientes constantes e possui uma resposta de entrada nula dada por
. É possível que a equação característica desse sistema seja:
? Justifique.
Passo 1
Resumo do enunciado e o que precisamos
Você tem um sistema LTI descrito por uma EDO linear de coeficientes constantes. A resposta de entrada nula (ou seja, a solução homogênea) é
Você tem um sistema LTI descrito por uma EDO linear de coeficientes constantes. A resposta de entrada nula (ou seja, a solução homogênea) é
A pergunta é: “Será que a equação característica pode ser
?”
Conteúdo da matéria: resposta de sistemas lineares homogêneos, polinômio característico e modos naturais. Vamos precisar resolver o polinômio característico, achar as raízes e ver se a solução homogênea bate com .
Conteúdo da matéria: resposta de sistemas lineares homogêneos, polinômio característico e modos naturais. Vamos precisar resolver o polinômio característico, achar as raízes e ver se a solução homogênea bate com
Passo 2
Teoria da resposta de entrada nula
Para uma EDO homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes
Para uma EDO homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes
a gente faz o “chute”
. Isso leva ao polinômio característico
As raízes
desse polinômio geram a solução geral
Essa é justamente a resposta de entrada nula do sistema.
Passo 3
Achar as raízes de
Escrevendo
Escrevendo
vemos que
Passo 4
Comparar a solução geral com
Como e
, a solução homogênea é
Como
Para bater com
, basta escolher
Ou seja, dá certinho.
Resposta
Sim, é perfeitamente possível, pois a equação
gera raízes em
e
, e a solução homogênea
com
e
coincide com
.