(LATHI, Problema 2.2-8, p. 215) Um sistema é descrito por uma equação linear diferencial com coeficientes constantes e possui uma resposta de entrada nula dada por yz i(t)=2 e^-t+3. É possível que a equação característica desse sistema seja:
(lambda^2+lambda)=0? Justifique.

Passo 1

Resumo do enunciado e o que precisamos
Você tem um sistema LTI descrito por uma EDO linear de coeficientes constantes. A resposta de entrada nula (ou seja, a solução homogênea) é
yzi(t) = 2e^-t + 3
A pergunta é: “Será que a equação característica pode ser
lambda^2 + lambda = 0
?”
Conteúdo da matéria: resposta de sistemas lineares homogêneos, polinômio característico e modos naturais. Vamos precisar resolver o polinômio característico, achar as raízes e ver se a solução homogênea bate com .

Passo 2

Teoria da resposta de entrada nula
Para uma EDO homogênea de 2º ordem com coeficientes constantes
a2 y''(t) + a1 y'(t) + a0 y(t) = 0,
a gente faz o “chute” a2lambda^2 + a1lambda + a0 = 0 . Isso leva ao polinômio característico
yh(t) = C1 e^lambda1 t + C2 e^lambda2 t
As raízes desse polinômio geram a solução geral
Essa é justamente a resposta de entrada nula do sistema.

Passo 3

Achar as raízes de lambda^2 + lambda = lambda(lambda + 1) = 0,
Escrevendo
lambda1 = 0, lambda2 = -1
vemos que

Passo 4

Comparar a solução geral com yh(t) = C1 e^0cdot t + C2 e^-t = C1 + C2 e^-t
Como C2 = 2, C1 = 3 e , a solução homogênea é
Para bater com , basta escolher
Ou seja, dá certinho.

Resposta

Sim, é perfeitamente possível, pois a equação yh(t)=C1 + C2 e^-t gera raízes em e , e a solução homogênea
com e coincide com .

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