(LATHI, Problema 2.4-7, p. 215) A resposta ao impulso unitário de um sistema é h(t)=e^-t u(t). Determine a resposta desse sistema se x(t)=u(t). Considere o sistema em estado nulo (repouso).

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que nosso sistema (LTI, em repouso) tem resposta ao impulso
h(t)=e^-tu(t)
e a entrada é o degrau unitário
x(t)=u(t),
O que a gente quer é a saída .
Conteúdo: sistemas LTI em tempo contínuo e convolução.
O que precisamos: saber definir a integral de convolução e como usar as funções .

Passo 2

Pra sistemas LTI em tempo contínuo a saída é
y(t)=integral-infty^+inftyh(tau),x(t-tau),dtau
Aqui,
  • y(t)=integral0^te^-tau,dtau só vale algo quando .
  • só vale 1 quando , ou seja, .
    Então a integral não sai de até :

Passo 3

Vamos resolver a integral
integral0^te^-tau,dtau = l[-e^-taur]0^t = l(-e^-tr)-l(-e^0r) =1 - e^-t
E como tudo só “liga” pra , a gente coloca .

Resposta

boxedy(t)=l(1 - e^-tr),u(t)

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