(OPPENHEIM, Problema 2.33, p. 87) Considere um sistema no qual a entrada
e a saída
satisfazem a equação diferencial de
ordem
. Sabendo que esse sistema satisfaz a condição de repouso inicial, determine:
a sua resposta ao impulso unitário
.
a sua resposta ao impulso unitário
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a resposta ao impulso unitário
de um sistema que, pra qualquer entrada
e saída
, satisfaz a equação diferencial de primeira ordem
com condição de repouso inicial (ou seja,
). Isso faz parte da parte de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI) e a gente vai usar a transformada de Laplace pra resolver tranquilo.
Passo 2
Primeiro, lembra que a resposta ao impulso
é simplesmente a saída
quando a entrada
é o impulso unitário
. Então, no nosso caso, a gente coloca
e resolve
Aí o truque clássico é aplicar a transformada de Laplace em tudo.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace (denotada por
). Lembrando:
Como
, temos:
E do outro lado
. Logo, no domínio de
:
Passo 4
Agora a gente isola
:
Esse
é a transformada de Laplace da nossa resposta ao impulso
.
Passo 5
Pra voltar pro tempo, faz a transformada inversa de Laplace. A tabela básica diz que
onde
é o degrau de Heaviside. Aqui
, então
Resposta
A resposta ao impulso do sistema é