(OPPENHEIM, Problema 2.33, p. 87) Considere um sistema no qual a entrada x(t) e a saída y(t) satisfazem a equação diferencial de 1^a ordem d y(t)d t+2 y(t)=x(t). Sabendo que esse sistema satisfaz a condição de repouso inicial, determine:
a sua resposta ao impulso unitário h(t).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a resposta ao impulso unitário h(t) de um sistema que, pra qualquer entrada x(t) e saída y(t), satisfaz a equação diferencial de primeira ordem
d y(t)d t + 2,y(t) ;=; x(t)
com condição de repouso inicial (ou seja, y(0^-)=0). Isso faz parte da parte de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (LTI) e a gente vai usar a transformada de Laplace pra resolver tranquilo.

Passo 2

Primeiro, lembra que a resposta ao impulso h(t) é simplesmente a saída y(t) quando a entrada x(t) é o impulso unitário de. Então, no nosso caso, a gente coloca
x(t)=de
e resolve
d y(t)d t + 2,y(t) = de
Aí o truque clássico é aplicar a transformada de Laplace em tudo.

Passo 3

Vamos aplicar a transformada de Laplace (denotada por Lcdot). Lembrando:
  • Ltfracd y(t)dt = s,Y(s) - y(0^-)
  • Ly(t) = Y(s)
  • Lde
Como y(0^-)=0, temos:
Ld yd t + 2,Ly(t) = s,Y(s) - 0 + 2,Y(s) = (s + 2),Y(s)
E do outro lado Lde. Logo, no domínio de s:
(s + 2),Y(s) = 1

Passo 4

Agora a gente isola Y(s):
Y(s) = 1s+2
Esse Y(s) é a transformada de Laplace da nossa resposta ao impulso h(t).

Passo 5

Pra voltar pro tempo, faz a transformada inversa de Laplace. A tabela básica diz que
L^-11s+a = e^-a t,u(t),
onde u(t) é o degrau de Heaviside. Aqui a=2, então
h(t) = L^-11s+2 = e^-2t,u(t)

Resposta

A resposta ao impulso do sistema é
boxedh(t) = e^-2t,u(t)

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