1. Uma latinha de refrigerante de alumínio, com capacidade térmica desprezível, contém 350 ml de água logo acima do ponto de congelamento ( 273 K ). Outra latinha semelhante contém 350 ml de água logo abaixo do ponto de ebulição ( 373 K ). As duas são colocadas em contato térmico e atingem o equilíbrio térmico em 323 K . Sabendo que o calor específico da água é c =4186 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}), qual é aproximadamente a variação total de entropia do sistema?
    (a) 30,7 \mathrm{~J} / \mathrm{K}
    (b) 35,2 \mathrm{~J} / \mathrm{K}
    (c) 37,2 \mathrm{~J} / \mathrm{K}
    (d) 38,3 \mathrm{~J} / \mathrm{K}
    (e) 38,5 \mathrm{~J} / \mathrm{K}

Passo 1

O enunciado dá duas latinhas idênticas contendo 350\\ \mathrm{ml} de água cada (capacidade térmica das latinhas desprezível). Uma água está inicialmente em 273\\ \mathrm{K} e a outra em 373\\ \mathrm{K}. As duas são colocadas em contato térmico e atingem equilíbrio em 323\\ \mathrm{K}. O calor específico da água é c=4186\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}). A pergunta: qual é aproximadamente a variação total de entropia do sistema (as duas águas juntas)?\n\nInformações relevantes listadas:\n\n1. Volume de cada água: 350\\ \mathrm{ml}.\n2. Densidade da água (implícita): 1{,}0\\ \mathrm{kg}/\mathrm{L} → massa de cada amostra: m=0{,}350\\ \mathrm{kg}.\n3. Temperaturas iniciais: T_{\text{fria}}=273\\ \mathrm{K}, T_{\text{quente}}=373\\ \mathrm{K}.\n4. Temperatura final de equilíbrio: T_f=323\\ \mathrm{K}.\n5. Calor específico: c=4186\\ \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}).\n6. Assumir processos reversíveis infinitesimais para calcular variação de entropia de cada amostra (água trocando calor internamente). A capacidade térmica das latinhas é desprezível, então não contribuem.\n\nO que se pede: a variação total de entropia \Delta S_{\text{total}}=\Delta S_{\text{fria}}+\Delta S_{\text{quente}} em \mathrm{J}/\mathrm{K}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida de entropia): a variação de entropia de um corpo que muda de temperatura de T_i para T_f, trocando calor de forma que a cada passo seja praticamente reversível (processo quasi‑estático), é dada por
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
Para aquecimento ou resfriamento de uma substância com calor específico c (assumido praticamente constante na faixa de temperatura), a troca de calor reversível em um pequeno aumento de temperatura dT é \delta Q_{\text{rev}} = m c\, dT. Substituindo,
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f} \frac{m c\, dT}{T} = m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Explicando símbolos: m é a massa em kg, c é o calor específico em \mathrm{J}/(\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}), T_i é a temperatura inicial em K e T_f a final em K. O logaritmo natural aparece porque \int dT/T = \ln T.

Passo 3

Aplicando a fórmula a cada lata (cada porção de água tem a mesma massa m e mesmo c). Para a água inicialmente fria que vai de T_i=273\\ \mathrm{K} para T_f=323\\ \mathrm{K},
\Delta S_{\text{fria}} = m c \ln\!\left(\frac{323}{273}\right).
Para a água inicialmente quente que resfria de T_i=373\\ \mathrm{K} para T_f=323\\ \mathrm{K},
\Delta S_{\text{quente}} = m c \ln\!\left(\frac{323}{373}\right).
A variação total é a soma:
\Delta S_{\text{total}} = m c \left[\ln\!\left(\frac{323}{273}\right) + \ln\!\left(\frac{323}{373}\right)\right].

Passo 4

Calculemos m c (constante multiplicativa comum):
m = 350\\ \mathrm{ml} = 0{,}350\\ \mathrm{kg},
m c = 0{,}350\times 4186 = 1465{,}1\\ \mathrm{J}/\mathrm{K}.

Passo 5

Podemos simplificar a soma dos logaritmos usando propriedades dos logs:
\ln\!\left(\frac{323}{273}\right) + \ln\!\left(\frac{323}{373}\right) = \ln\!\left(\frac{323^2}{273\cdot 373}\right).
Calculemos a razão dentro do logaritmo com números exatos:
323^2 = 104329,\qquad 273\cdot 373 = 101829,
\frac{323^2}{273\cdot 373} = \frac{104329}{101829} \approx 1{,}024535.
Então
\ln\!\left(\frac{323^2}{273\cdot 373}\right)=\ln(1{,}024535)\approx 0{,}024239\quad(\text{usar expansão } \ln(1+x)\approx x-\tfrac{x^2}{2}+\dots).ã

Passo 6

Agora a variação total de entropia:
\Delta S_{\text{total}} = 1465{,}1 \times 0{,}024239 \approx 35{,}51\\ \mathrm{J}/\mathrm{K}.
Arredondando razoavelmente, \Delta S_{\text{total}}\approx 35{,}5\\ \mathrm{J}/\mathrm{K}. Isso coincide com a alternativa mais próxima dentre as opções dadas.

Passo 7

Comentário encorajador rápido: a variação total de entropia é positiva (como deve ser para um processo irreversível espontâneo), e o procedimento prático na prova é sempre lembrar da fórmula \Delta S = m c \ln(T_f/T_i) e somar para cada corpo.

Resposta

(b) \approx 35{,}5\\ \mathrm{J}/\mathrm{K}

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