Partículas de massa m e energia E originalmente movendose à direita em uma região do espaço onde U=0 atingem um potencial degrau em x=0 de altura U_{0}<E para todos x>0. Classicamente, todas as partículas irão passar pelo potencial degrau. Resolva o problema de mecânica quântica seguindo um processo similar ao descrito na Seção 46-7. (a) Escreva soluções válidas na região x<0 consistindo em uma onda incidente de amplitude \psi_{1} e uma onda refletida \psi_{2}, e na região x>0 consistindo em uma onda transmitida de amplitude \psi_{3}. Expresse as soluções em termos de k=(2 \pi / h) \sqrt{2 m E} e k^{\prime}=(2 \pi / h) \sqrt{2 m\left(E-U_{o}\right)}. (b) Para uma onda matematicamente bem comportada, a função de onda e a sua primeira derivada devem ser contínuas através da fronteira; isto é, em x=0 deve-se ter \psi_{x<0}=\psi_{x>0} \mathrm{e} d \psi_{x<0} / d x=d \psi_{x>0} d d x. Aplique estas condições de contorno para determinar \psi_{2} / \psi_{1} \mathrm{e} \psi_{3} / \psi_{1}. (c) Mostre que o coeficiente de transmissão, definido, neste caso, como \left|\psi_{3}\right|^{2} /\left|\psi_{1}\right|^{2}, é
T=4\left(1+k^{\prime} l k\right)^{-2}
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras e nos dá informações específicas. Vou listar de forma direta para não nos perder:
Perguntas:
(a) Escrever soluções válidas para a função de onda em x<0 (onda incidente e refletida) e em x>0 (onda transmitida), usando k e k' dados.
(b) Aplicar as condições de contorno de continuidade da função de onda e da sua derivada em x=0 para determinar \psi_{2}/\psi_{1} e \psi_{3}/\psi_{1}.
(c) Mostrar que o coeficiente de transmissão T=\left|\psi_{3}\right|^{2}/\left|\psi_{1}\right|^{2} pode ser escrito como \displaystyle T=4\bigl(1+\tfrac{k'}{k}\bigr)^{-2}.
Dados fornecidos:
Partículas de massa m têm energia E com E>U_{0}.
Potencial: U(x)=0 para x<0 e U(x)=U_{0} para x>0.
Definições: k=(2\pi/h)\sqrt{2mE} e k'=(2\pi/h)\sqrt{2m(E-U_{0})}.
Observação importante: a região x<0 deve conter uma onda incidente (movendo-se para a direita) e uma refletida (para a esquerda); a região x>0 tem a onda transmitida dirigindo-se para a direita, já que E>U_{0}.
Passo 2
Escrever as soluções gerais do problema em cada região. Motivação rápida: em regiões com potencial constante a equação de Schrödinger independente do tempo admite soluções tipo ondas planas \mathrm{e}^{\pm i k x}. Assim:
Para x<0 (onde U=0) tomamos uma onda incidente de amplitude \psi_{1} movendo-se à direita e uma refletida de amplitude \psi_{2} movendo-se à esquerda. A solução é
\psi_{x<0}(x)=\psi_{1}\,\mathrm{e}^{i k x}+\psi_{2}\,\mathrm{e}^{-i k x}.
Explicação didática: \mathrm{e}^{i k x} representa uma onda com momento positivo (movendo-se para a direita) e \mathrm{e}^{-i k x} momento negativo (para a esquerda). O parâmetro k está relacionado à energia cinética na região x<0.
Para x>0 (onde U=U_{0} e E>U_{0}) a solução física é uma onda transmitida de amplitude \psi_{3} movendo-se para a direita:
\psi_{x>0}(x)=\psi_{3}\,\mathrm{e}^{i k' x}.
Explicação: usamos apenas a componente \mathrm{e}^{i k' x} porque assumimos que não há ondas vindo do infinito à direita (problema de incidência a partir da esquerda). O número de onda k' é menor que k porque a energia cinética na região x>0 é E-U_{0}.
Passo 3
Aplicar as condições de contorno em x=0. A exigência de que a função de onda e sua derivada sejam contínuas no ponto x=0 gera duas equações:
Calcule as derivadas: \dfrac{d}{dx}\mathrm{e}^{i k x}=i k\,\mathrm{e}^{i k x} e \dfrac{d}{dx}\mathrm{e}^{-i k x}=-i k\,\mathrm{e}^{-i k x}. Assim em x=0 obtemos
i k(\psi_{1}-\psi_{2})=i k'\psi_{3}.
Podemos simplificar i (não é zero) e ficar com
k(\psi_{1}-\psi_{2})=k'\psi_{3}.
Passo 4
Resolver o sistema linear para \psi_{2}/\psi_{1}. Vamos colocar tudo em termos de razões em relação a \psi_{1}. Defina r=\dfrac{\psi_{2}}{\psi_{1}} e t=\dfrac{\psi_{3}}{\psi_{1}}. As duas equações tornam-se:
1+r=t
e
k(1-r)=k' t.
Substitua t da primeira na segunda: k(1-r)=k'(1+r). Desenvolvendo:
k - k r = k' + k' r.
Reorganizando os termos que contêm r de um lado:
k - k' = r(k + k').
Logo
r=\frac{k-k'}{k+k'}.
Portanto
\frac{\psi_{2}}{\psi_{1}}=\frac{k-k'}{k+k'}.
Comentário didático: essa razão é geralmente chamada amplitude de reflexão (relacionada ao coeficiente de reflexão por módulo quadrado). Note que se k'=k (ou seja U_{0}=0) então \psi_{2}=0 como esperado (nenhuma reflexão quando não existe descontinuidade).
Passo 5
Determinar \psi_{3}/\psi_{1}. Podemos usar t=1+r. Substituindo o valor de r:
Comentário: essa é a amplitude de transmissão (relação entre a amplitude transmitida e a incidente). Faz sentido físico: se k' difere de k há mudança de amplitude por causa da diferença de velocidades de fase/fluxo entre as regiões.
Passo 6
Calcular o coeficiente de transmissão T. Pelo enunciado definimos T=\left|\psi_{3}\right|^{2}/\left|\psi_{1}\right|^{2}. Usando a razão encontrada: