5.6. Borrifador de jardim: Uma mangueira de jardim com diâmetro interno de 2 cm está ligada a um borrifador com 24 furos de
de diâmetro cada. Se a água circula na mangueira com velocidade de
, com que velocidade a água deixa os furos do borrifador?
5.7. Armazenamento de água: O nível da água, em um grande reservatório aberto de paredes verticais, tem elevação
. Faz-se um furo na parede à uma profundidade
abaixo da superfície. A que distância horizontal do pé da parede o jato de água atingirá o solo? Qual o valor de
que torna o alcance horizontal do jato de água máximo? Se o diâmetro do furo for igual a 2 cm , que quantidade de água escoará pelo furo durante 1 h ?
5.7. Armazenamento de água: O nível da água, em um grande reservatório aberto de paredes verticais, tem elevação
Passo 1
Enunciado e dados (vou separar claramente cada item para não nos perder):\n
- Questão 5.6: Uma mangueira de jardim tem diâmetro interno
. Ela está ligada a um borrifador com furos, cada furo com diâmetro . A água circula na mangueira com velocidade . Pede-se: com que velocidade a água sai pelos furos do borrifador?\n - Dados importantes extraídos do enunciado para 5.6:\n
- diâmetro da mangueira
, então raio da mangueira ;\n - número de furos ;\n - diâmetro de cada furo , então raio de cada furo ;\n - velocidade na mangueira .\n\n
- diâmetro da mangueira
- Questão 5.7: Num grande reservatório aberto de paredes verticais o nível da água tem elevação
(medida acima do solo). Faz-se um furo na parede a uma profundidade abaixo da superfície (ou seja, a altura do furo acima do solo é ). Pede-se:\n - a que distância horizontal do pé da parede o jato atinge o solo (função de
e )?\n - o valor de
que torna esse alcance horizontal máximo?\n - se o diâmetro do furo for
, que quantidade de água escoará pelo furo durante ?\n
- a que distância horizontal do pé da parede o jato atinge o solo (função de
- Dados importantes extraídos do enunciado para 5.7:\n
- nível da água a altura
acima do solo;\n - furo a profundidade abaixo da superfície => altura do furo acima do solo ;\n - diâmetro do furo (para a terceira pergunta) .\n\n
Pronto — agora que está claro o que foi dado e o que é pedido, vamos resolver passo a passo.
- nível da água a altura
Passo 2
Resolvendo a questão 5.6 — ideia física e fórmula que vamos usar (continuidade):\n
- Conceito-chave (continuidade / conservação da massa para fluido incompressível): em regime estacionário, a vazão volumétrica
é a mesma em qualquer seção do sistema. Isso significa que\n \n
onde:\n
-
é a área da seção transversal da mangueira;\n - é a velocidade da água na mangueira;\n - é a área total combinada dos 24 furos;\n - é a velocidade da água saindo pelos furos (o que queremos encontrar).\n\n
Explicando as variáveis:é vazão volumétrica (m^3/s), áreas em m^2 e velocidades em m/s. Como o fluido é água (praticamente incompressível) e estamos em regime estacionário, a vazão que entra na mangueira sai pelos furos.
Passo 3
Calcular as áreas numericamente (atenção às unidades):\n
- Primeiro passe as unidades para um sistema uniforme. Vou usar centímetros para facilitar a contagem de áreas, mas podemos converter no final para SI. A velocidade inicial está em
, então converterei quando necessário.\n - Área da mangueira (raio
):\n \n - Área de um furo (raio
):\n \n - Área total dos 24 furos:\n
Passo 4
Calcular a vazão na mangueira e a velocidade nos furos:\n
- Converta a velocidade da mangueira para
:\n \n - Vazão pela mangueira:\n
\n - Agora use continuidade para obter
:\n \n - Calcule a divisão:
. Convertendo para :\n
Passo 5
Interpretação do resultado da 5.6 e observação prática:\n
- A velocidade é aproximadamente
. Isso é bem rápida — faz sentido fisicamente porque a mesma vazão que viaja pela mangueira é forçada a passar por uma área total muito menor (a soma dos furos), aumentando bastante a velocidade de saída.\n - Importante: usamos a hipótese ideal de que não há perdas por atrito no borrifador nem contra-pressão extra; em condições reais a velocidade seria um pouco menor.
Passo 6
Agora vamos para a questão 5.7 — primeiro a velocidade de saída pela lei de Torricelli e a geometria do projétil:\n
- Conceito-chave (Torricelli): a velocidade de saída de um fluido por um pequeno orifício, pela diferença de pressão entre a superfície livre e o orifício (ambos à pressão atmosférica), é dada por\n
\n
onde:\n
-
é a velocidade da água ao sair do furo;\n - é a aceleração da gravidade (vou usar );\n - é a profundidade do furo abaixo da superfície livre (em metros).\n\n - Explicação simples: a energia potencial por unidade de massa
é convertida em energia cinética , daí surge .\n - A água sai horizontalmente (assumimos furo pequeno e parede fina), então trataremos o jato como um projétil horizontal lançado da altura
acima do solo.
Passo 7
Determinar a distância horizontal
que o jato percorre até atingir o solo (função de
e
):\n
- Tempo de queda
para um projétil lançado horizontalmente da altura é obtido pela equação do movimento vertical sob gravidade:\n \n - A componente horizontal da velocidade é
. A distância horizontal é então\n \n - Simplificando (observe que
cancela em parte):\n \n - Portanto a distância horizontal a partir do pé da parede (função de
e ) é\n
Passo 8
Encontrar o valor de
que maximiza
(análise de otimização):\n
- Podemos maximizar
maximizando (é mais simples e preserva o ponto de máximo):\n \n - Derive em relação a
e anule para encontrar o extremo:\n \n - Logo o
que maximiza é\n \n - Substituindo esse valor em
para obter o alcance máximo:\n \n - Resultado bonito e simples: o alcance máximo horizontal é igual à altura
do nível de água acima do solo, obtido quando o furo está a meio caminho da superfície ( ).
Passo 9
Agora a terceira parte de 5.7: vazão e quantidade de água escoada em
para um furo de diâmetro
.\n
- Primeiro, área do furo (diâmetro
=> raio ):\n \n - Velocidade de saída pela Torricelli (em
):\n \ncom em metros e .\n - Vazão volumétrica (m^3/s):\n
\n - Quantidade escoada em
:\n \n - Podemos simplificar numericamente um pouco se quiseres a forma mais compacta:\n
\n
(Observação:
.)\n
- Se desejarmos o volume quando
é o que maximiza o alcance ( ), basta substituir na expressão acima:\n \n - Isso deixa em função de
. Como o enunciado não dá um valor numérico para , deixamos a resposta em forma simbólica.
Passo 10
Resumo final rápido (respostas prontas para checar na prova). Estou torcendo por você — mandou bem em trazer essas questões; a ideia é: continuidade para 5.6, Torricelli + cinematica de projéteis para 5.7. Se quiser, eu faço um exemplo numérico com um
específico para ver as magnitudes concretas.
Resposta
5.6:
\n
5.7 (a): \n
5.7 (b): e
\n
5.7 (c): . Para
:
.
5.7 (a):
5.7 (b):
5.7 (c):