5.6. Borrifador de jardim: Uma mangueira de jardim com diâmetro interno de 2 cm está ligada a um borrifador com 24 furos de 0,1 \mathrm{~cm} de diâmetro cada. Se a água circula na mangueira com velocidade de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, com que velocidade a água deixa os furos do borrifador?
5.7. Armazenamento de água: O nível da água, em um grande reservatório aberto de paredes verticais, tem elevação H. Faz-se um furo na parede à uma profundidade h abaixo da superfície. A que distância horizontal do pé da parede o jato de água atingirá o solo? Qual o valor de h que torna o alcance horizontal do jato de água máximo? Se o diâmetro do furo for igual a 2 cm , que quantidade de água escoará pelo furo durante 1 h ?

Passo 1

Enunciado e dados (vou separar claramente cada item para não nos perder):\n
  • Questão 5.6: Uma mangueira de jardim tem diâmetro interno 2\\ \mathrm{cm}. Ela está ligada a um borrifador com 24 furos, cada furo com diâmetro 0{,}1\\ \mathrm{cm}. A água circula na mangueira com velocidade 2\\ \mathrm{m/s}. Pede-se: com que velocidade a água sai pelos furos do borrifador?\n
  • Dados importantes extraídos do enunciado para 5.6:\n
    • diâmetro da mangueira =2\\ \mathrm{cm}, então raio da mangueira r_{\text{m}}=1\\ \mathrm{cm};\n - número de furos n=24;\n - diâmetro de cada furo =0{,}1\\ \mathrm{cm}, então raio de cada furo r_{\text{f}}=0{,}05\\ \mathrm{cm};\n - velocidade na mangueira v_{\text{m}}=2\\ \mathrm{m/s}.\n\n
  • Questão 5.7: Num grande reservatório aberto de paredes verticais o nível da água tem elevação H (medida acima do solo). Faz-se um furo na parede a uma profundidade h abaixo da superfície (ou seja, a altura do furo acima do solo é H-h). Pede-se:\n
    1. a que distância horizontal do pé da parede o jato atinge o solo (função de H e h)?\n
    2. o valor de h que torna esse alcance horizontal máximo?\n
    3. se o diâmetro do furo for 2\\ \mathrm{cm}, que quantidade de água escoará pelo furo durante 1\\ \mathrm{h}?\n
  • Dados importantes extraídos do enunciado para 5.7:\n
    • nível da água a altura H acima do solo;\n - furo a profundidade h abaixo da superfície => altura do furo acima do solo =H-h;\n - diâmetro do furo (para a terceira pergunta) =2\\ \mathrm{cm}.\n\n
      Pronto — agora que está claro o que foi dado e o que é pedido, vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Resolvendo a questão 5.6 — ideia física e fórmula que vamos usar (continuidade):\n
  • Conceito-chave (continuidade / conservação da massa para fluido incompressível): em regime estacionário, a vazão volumétrica Q é a mesma em qualquer seção do sistema. Isso significa que\n Q = A_{\text{m}} v_{\text{m}} = A_{\text{furos}} v_{\text{furos}},\n
onde:\n
  • A_{\text{m}} é a área da seção transversal da mangueira;\n - v_{\text{m}} é a velocidade da água na mangueira;\n - A_{\text{furos}} é a área total combinada dos 24 furos;\n - v_{\text{furos}} é a velocidade da água saindo pelos furos (o que queremos encontrar).\n\n
    Explicando as variáveis: Q é vazão volumétrica (m^3/s), A áreas em m^2 e v velocidades em m/s. Como o fluido é água (praticamente incompressível) e estamos em regime estacionário, a vazão que entra na mangueira sai pelos furos.

Passo 3

Calcular as áreas numericamente (atenção às unidades):\n
  • Primeiro passe as unidades para um sistema uniforme. Vou usar centímetros para facilitar a contagem de áreas, mas podemos converter no final para SI. A velocidade inicial está em \mathrm{m/s}, então converterei quando necessário.\n
  • Área da mangueira (raio r_{\text{m}}=1\\ \mathrm{cm}):\n A_{\text{m}} = \pi r_{\text{m}}^{2} = \pi (1\\ \mathrm{cm})^{2} = \pi\\ \mathrm{cm}^{2}.\n
  • Área de um furo (raio r_{\text{f}}=0{,}05\\ \mathrm{cm}):\n A_{\text{f}} = \pi r_{\text{f}}^{2} = \pi (0{,}05\\ \mathrm{cm})^{2} = \pi (0{,}0025)\\ \mathrm{cm}^{2} = 0{,}0025\pi\\ \mathrm{cm}^{2}.\n
  • Área total dos 24 furos:\n A_{\text{furos}} = 24\cdot A_{\text{f}} = 24\cdot 0{,}0025\pi\\ \mathrm{cm}^{2} = 0{,}06\pi\\ \mathrm{cm}^{2}.

Passo 4

Calcular a vazão na mangueira e a velocidade nos furos:\n
  • Converta a velocidade da mangueira para \mathrm{cm/s}:\n v_{\text{m}} = 2\\ \mathrm{m/s} = 200\\ \mathrm{cm/s}.\n
  • Vazão pela mangueira:\n Q = A_{\text{m}} v_{\text{m}} = \pi\\ \mathrm{cm}^{2}\cdot 200\\ \mathrm{cm/s} = 200\pi\\ \mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}.\n
  • Agora use continuidade para obter v_{\text{furos}}:\n v_{\text{furos}} = \frac{Q}{A_{\text{furos}}} = \frac{200\pi}{0{,}06\pi}\\ \mathrm{cm/s} = \frac{200}{0{,}06}\\ \mathrm{cm/s}.\n
  • Calcule a divisão: \dfrac{200}{0{,}06}=3333{,}333\ldots\\ \mathrm{cm/s}. Convertendo para \mathrm{m/s}:\n v_{\text{furos}} = 3333{,}333\ldots\\ \mathrm{cm/s} = 33{,}333\ldots\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Interpretação do resultado da 5.6 e observação prática:\n
  • A velocidade é aproximadamente 33{,}33\\ \mathrm{m/s}. Isso é bem rápida — faz sentido fisicamente porque a mesma vazão que viaja pela mangueira é forçada a passar por uma área total muito menor (a soma dos furos), aumentando bastante a velocidade de saída.\n
  • Importante: usamos a hipótese ideal de que não há perdas por atrito no borrifador nem contra-pressão extra; em condições reais a velocidade seria um pouco menor.

Passo 6

Agora vamos para a questão 5.7 — primeiro a velocidade de saída pela lei de Torricelli e a geometria do projétil:\n
  • Conceito-chave (Torricelli): a velocidade de saída de um fluido por um pequeno orifício, pela diferença de pressão entre a superfície livre e o orifício (ambos à pressão atmosférica), é dada por\n v = \sqrt{2 g h},\n
onde:\n
  • v é a velocidade da água ao sair do furo;\n - g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}});\n - h é a profundidade do furo abaixo da superfície livre (em metros).\n\n
  • Explicação simples: a energia potencial por unidade de massa g h é convertida em energia cinética \tfrac{1}{2}v^{2}, daí surge v=\sqrt{2gh}.\n
  • A água sai horizontalmente (assumimos furo pequeno e parede fina), então trataremos o jato como um projétil horizontal lançado da altura y_{0}=H-h acima do solo.

Passo 7

Determinar a distância horizontal x que o jato percorre até atingir o solo (função de H e h):\n
  • Tempo de queda t para um projétil lançado horizontalmente da altura y_{0} é obtido pela equação do movimento vertical sob gravidade:\n y_{0} = \tfrac{1}{2} g t^{2} \quad\Rightarrow\quad t = \sqrt{\frac{2 y_{0}}{g}} = \sqrt{\frac{2 (H-h)}{g}}.\n
  • A componente horizontal da velocidade é v_{x}=v=\sqrt{2 g h}. A distância horizontal é então\n x = v_{x}\, t = \sqrt{2 g h}\; \sqrt{\frac{2 (H-h)}{g}}.\n
  • Simplificando (observe que g cancela em parte):\n x = 2\sqrt{h (H-h)}.\n
  • Portanto a distância horizontal a partir do pé da parede (função de H e h) é\n \boxed{x(h)=2\sqrt{h(H-h)}}.

Passo 8

Encontrar o valor de h que maximiza x(h) (análise de otimização):\n
  • Podemos maximizar x maximizando x^{2} (é mais simples e preserva o ponto de máximo):\n x^{2}(h) = 4 h (H-h) = 4(H h - h^{2}).\n
  • Derive em relação a h e anule para encontrar o extremo:\n \frac{d}{dh} \big(x^{2}(h)\big) = 4(H - 2h)=0 \quad\Rightarrow\quad H - 2h = 0.\n
  • Logo o h que maximiza é\n \boxed{h = \frac{H}{2}}.\n
  • Substituindo esse valor em x(h) para obter o alcance máximo:\n x_{\max} = 2\sqrt{\frac{H}{2}\left(H-\frac{H}{2}\right)} = 2\sqrt{\frac{H}{2}\cdot\frac{H}{2}} = 2\cdot\frac{H}{2} = H.\n
  • Resultado bonito e simples: o alcance máximo horizontal é igual à altura H do nível de água acima do solo, obtido quando o furo está a meio caminho da superfície ( h=H/2).

Passo 9

Agora a terceira parte de 5.7: vazão e quantidade de água escoada em 1\\ \mathrm{h} para um furo de diâmetro 2\\ \mathrm{cm}.\n
  • Primeiro, área do furo (diâmetro 2\\ \mathrm{cm} => raio r=1\\ \mathrm{cm}=0{,}01\\ \mathrm{m}):\n A = \pi r^{2} = \pi (0{,}01\\ \mathrm{m})^{2} = \pi \cdot 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.\n
  • Velocidade de saída pela Torricelli (em \mathrm{m/s}):\n v = \sqrt{2 g h},\ncom h em metros e g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}.\n
  • Vazão volumétrica (m^3/s):\n Q = A v = \pi\cdot 10^{-4}\\ \sqrt{2 g h}\\ \mathrm{m^{3}/s}.\n
  • Quantidade escoada em 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}:\n V_{1\mathrm{h}} = Q\cdot 3600 = 3600\\ \pi\cdot 10^{-4}\\ \sqrt{2 g h}\\ \mathrm{m^{3}}.\n
  • Podemos simplificar numericamente um pouco se quiseres a forma mais compacta:\n V_{1\mathrm{h}} = 0{,}36\pi\\ \sqrt{2 g h}\\ \mathrm{m^{3}}.\n
(Observação: 3600\cdot 10^{-4}=0{,}36.)\n
  • Se desejarmos o volume quando h é o que maximiza o alcance ( h=H/2), basta substituir h=H/2 na expressão acima:\n V_{1\mathrm{h}}(h=H/2)=0{,}36\pi\\ \sqrt{2 g \frac{H}{2}}=0{,}36\pi\\ \sqrt{gH}\\ \mathrm{m^{3}}.\n
  • Isso deixa em função de H. Como o enunciado não dá um valor numérico para H, deixamos a resposta em forma simbólica.

Passo 10

Resumo final rápido (respostas prontas para checar na prova). Estou torcendo por você — mandou bem em trazer essas questões; a ideia é: continuidade para 5.6, Torricelli + cinematica de projéteis para 5.7. Se quiser, eu faço um exemplo numérico com um H específico para ver as magnitudes concretas.

Resposta

5.6: 33{,}33\\ \mathrm{m/s}\n
5.7 (a): x(h)=2\sqrt{h(H-h)}\n
5.7 (b): h=\dfrac{H}{2} e x_{\max}=H\n
5.7 (c): V_{1\mathrm{h}}=3600\pi(0{,}01)^{2}\sqrt{2 g h}=0{,}36\pi\sqrt{2 g h}\\ \mathrm{m^{3}}. Para h=H/2: V_{1\mathrm{h}}=0{,}36\pi\sqrt{gH}\\ \mathrm{m^{3}}.

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