1. Um gás ideal monoatômico é comprimido de um volume inicial V_{i} para um volume final V_{f} em um processo isotérmico. Qual é o valor do calor \Delta Q adicionado ao gás durante a compressão?
    (a) n R T_{i} \ln \left(\frac{V_{i}}{V_{f}}\right)
    (b) n R T_{i} \ln \left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right)
    (c) n R
    (d) \frac{3}{2} n R
    (e) \frac{5}{2} n R

Passo 1

O enunciado diz: um gás ideal monoatômico é comprimido de um volume inicial V_{i} para um volume final V_{f} em um processo isotérmico. Pergunta: qual é o valor do calor \Delta Q adicionado ao gás durante a compressão? As alternativas oferecidas são:
(a) n R T_{i} \ln \left(\frac{V_{i}}{V_{f}}\right)
(b) n R T_{i} \ln \left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right)
(c) n R
(d) \frac{3}{2} n R
(e) \frac{5}{2} n R
Informações relevantes dadas no enunciado: o gás é ideal e monoatômico, o processo é isotérmico (ou seja, a temperatura não muda ao longo do processo), há quantidade de substância n e constante dos gases R, volumes inicial e final V_{i} e V_{f}. O que se pede: calcular o calor \Delta Q trocado com o gás durante a compressão.

Passo 2

Relembrando a Primeira Lei da Termodinâmica e o que significa “isotérmico”: a Primeira Lei é
\Delta U = \Delta Q - W,
onde \Delta U é a variação da energia interna do sistema, \Delta Q é o calor recebido pelo sistema (positivo se entra calor) e W é o trabalho realizado pelo sistema (positivo se o sistema realiza trabalho sobre o vizinho). Em um processo isotérmico para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura; para um gás ideal monoatômico a energia interna é
U = \tfrac{3}{2} n R T.
Como o processo é isotérmico, a temperatura não muda, então \Delta T=0 e portanto
\Delta U = 0.
Isso é crucial: para um processo isotérmico de gás ideal, toda energia trocada vem na forma de calor e trabalho relacionados entre si.

Passo 3

Isolando \Delta Q na Primeira Lei com \Delta U=0 temos
\Delta Q = W.
Aqui reforço o que significa W: é o trabalho realizado pelo gás. Se o gás é comprimido, o trabalho realizado pelo gás é negativo (pois o ambiente faz trabalho sobre o gás). Mas primeiro vamos calcular W para um processo isotérmico reversível.

Passo 4

Cálculo do trabalho realizado pelo gás em um processo isotérmico reversível: usamos a expressão
W = \int_{V_{i}}^{V_{f}} p\,dV.
Como é gás ideal e isotérmico, a pressão obedece a equação dos gases ideais \;pV = nRT\;, com T constante e igual a T_{i}. Substituímos p=\dfrac{nRT_{i}}{V} dentro da integral:
W = \int_{V_{i}}^{V_{f}} \frac{n R T_{i}}{V}\,dV.
Essa integral é básica (integração de 1/V); computando:
W = n R T_{i} \int_{V_{i}}^{V_{f}} \frac{1}{V}\,dV = n R T_{i} \left[\ln V\right]_{V_{i}}^{V_{f}} = n R T_{i} \ln\!\left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right).

Passo 5

Voltando à relação entre \Delta Q e W: como \Delta U=0 temos \Delta Q = W. Portanto
\Delta Q = n R T_{i} \ln\!\left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right).
Interpretação do sinal: na compressão temos V_{f}<V_{i}, então \ln\!\left(\dfrac{V_{f}}{V_{i}}\right)<0. Assim \Delta Q é negativo, o que faz sentido fisicamente: durante uma compressão isotérmica o trabalho realizado sobre o gás tende a aquecê-lo, então calor deve sair do gás (isto é, calor é removido) para manter a temperatura constante — logo o calor “adicionado” é negativo. Entre as alternativas dadas, a que coincide com a expressão obtida é a alternativa (b).

Resposta

(b) n R T_{i} \ln \left(\dfrac{V_{f}}{V_{i}}\right)

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