Um lava-jato cobra preços diferentes, de acordo com o tamanho do carro: pequeno, médio e grande. O quadro a seguir descreve o número de carros de cada tamanho lavados em dois dias consecutivos, em que os preços não se alteraram.
Table 1: Número de carros lavados
\captionsetup{labelformat=empty}
Tamanho \mathbf{2}^{\underline{\mathbf{a}}} feira \mathbf{3}^{\underline{\mathbf{a}}} feira
Pequeno 8 15
Médio 6 5
Grande 2 4
Elaborado para fins didáticos.
Indicando por p, m e g os preços, em real, da lavagem dos carros pequeno, médio e grande, respectivamente, e sabendo que na 2^{\underline{\text { a }}} feira o faturamento desse lava–jato foi de \mathrm{R} \ 580,00 , e na3{ }^{a} foi de\mathrm{R} $850,00$, assinale a alternativa correta.
a. p=310-6 m
b. g=23 m-950
c. p+g=18 m-640
d. g-p=30 m-1.150
e. g=2 p

Passo 1

O enunciado dá o número de carros lavados em dois dias e os faturamentos desses dias, e pede que se escolha a alternativa que expressa corretamente uma relação entre os preços p,m,g (pequeno, médio e grande). Informação extraída do enunciado:
  • Na 2^{\underline{\text{a}}} feira foram lavados 8 carros pequenos, 6 médios e 2 grandes, com faturamento total de \mathrm{R}\$\,580{,}00.
  • Na 3^{\underline{\text{a}}} feira foram lavados 15 carros pequenos, 5 médios e 4 grandes, com faturamento total de \mathrm{R}\$\,850{,}00.
    As alternativas são:
    a. p=310-6m
    b. g=23m-950
    c. p+g=18m-640
    d. g-p=30m-1.150
    e. g=2p

Passo 2

Traduzir as informações em equações lineares. Se p,m,g são os preços (em reais) para pequeno, médio e grande, os dois faturamentos dão duas equações:
8p+6m+2g=580
15p+5m+4g=850
Estas são equações lineares em p,m,g. Temos duas equações e três incógnitas, então não conseguiremos obter valores numéricos únicos para todas as variáveis, mas podemos obter relações entre elas (por exemplo expressar p e g em função de m).

Passo 3

Explicar e aplicar o método de eliminação (adição/subtração) para eliminar uma variável e achar relação entre as demais. Vou eliminar g porque aparece com coeficientes fáceis de igualar: multiplicar a primeira equação por 2 torna o coeficiente de g igual a 4, igual ao da segunda equação. Assim posso subtrair as equações e eliminar g.

Passo 4

Multiplicar a primeira equação por 2:
2\cdot(8p+6m+2g)=2\cdot580
16p+12m+4g=1160
Agora subtrair da equação resultante a segunda equação \,15p+5m+4g=850. Ao subtrair, o termo 4g cancela:
(16p+12m+4g)-(15p+5m+4g)=1160-850
p+7m=310

Passo 5

Isolar p em função de m:
p=310-7m.
Isto é uma relação exata entre p e m que vale para todas as soluções do sistema dado.

Passo 6

Agora encontrar g em função de m. Substituir p=310-7m em uma das equações originais (uso a mais simples: 8p+6m+2g=580):
8(310-7m)+6m+2g=580.
Efetuando as multiplicações e somas:
8\cdot310 -56m +6m +2g =580
2480 -50m +2g =580.
Isolando 2g:
2g =580-2480+50m
2g = -1900 +50m
Dividindo por 2:
g = -950 +25m.
Ou seja,
g=25m-950.

Passo 7

Com as expressões p=310-7m e g=25m-950 podemos testar cada alternativa da questão, verificando se a igualdade proposta é verdadeira identicamente (isto é, para todo m).
Testar alternativa (a): p=310-6m. Comparando com p=310-7m, não coincide (o coeficiente de m difere). Logo (a) é falsa.
Testar alternativa (b): g=23m-950. Comparando com g=25m-950, os termos constantes coincidem mas o coeficiente de m difere (25 ≠ 23). Logo (b) é falsa.
Testar alternativa (c): p+g=18m-640. Calcular p+g usando as expressões obtidas:
p+g=(310-7m)+(25m-950).
Somando termos semelhantes:
p+g=310-950 +(-7m+25m)= -640 +18m.
Ou seja,
p+g=18m-640,
que é exatamente a alternativa (c). Portanto (c) é verdadeira.
Testar alternativa (d): g-p=30m-1.150. Calcular g-p:
g-p=(25m-950)-(310-7m)=25m-950-310+7m=32m-1260,
que não é 30m-1150. Logo (d) é falsa.
Testar alternativa (e): g=2p. Substituir as expressões: 25m-950 = 2(310-7m)=620-14m. Isso equivaleria a 25m-950=620-14m, que implica 39m=1570 e portanto seria verdade apenas para um m específico, não identicamente. A alternativa (e) é falsa.

Passo 8

Concluir: somente a alternativa (c) é verdadeira para todas as soluções do sistema; as demais são falsas.

Resposta

c.

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