Em uma sessão de cinema havia 300 espectadores. Uma parte deles pagou R$30,00 por ingresso, outra parte pagou R$ 15,00 por ingresso, e os espectadores restantes receberam os ingressos gratuitamente, em uma promoção. Sabe-se que a bilheteria arrecadou R$6.120,00 com a venda dos ingressos para essa sessão e que o número de pessoas que pagaram
15,00
30,00 por ingresso?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantas pessoas pagaram R$ 30,00 por ingresso?”
As informações dadas são:
As informações dadas são:
- O total de espectadores foi
. - Uma parte pagou
por ingresso. - Outra parte pagou
por ingresso. - Os restantes receberam ingresso gratuito.
- A bilheteria arrecadou, no total,
. - O número de pessoas que pagaram
foi o dobro do número de pessoas que receberam ingresso gratuitamente.
Passo 2
Definimos variáveis para traduzir o enunciado em equações:
- Seja
o número de pessoas que pagaram . - Seja
o número de pessoas que pagaram . - Seja
o número de pessoas que receberam ingresso gratuitamente.
A partir disso podemos escrever equações que representam as informações:
- A soma das pessoas é
:
- A arrecadação total vem dos que pagaram
e ; os gratuitos não contribuem:
- O enunciado diz que o número de pagantes de
é o dobro dos gratuitos:
Explicação rápida: as equações acima são um sistema linear. Cada termo como
significa “30 reais vezes o número
de ingressos a 30 reais”.
Passo 3
Vamos usar o método da substituição (uma técnica simples para resolver sistemas de 3 equações lineares em 3 incógnitas): já temos
expresso em função de
pela equação (3). Substituímos
na equação (1) para obter
em função de
.
Substituindo:
Somando os termos em
:
Isolando
:
Passo 4
Agora substituímos
e
(em termos de
) na equação da arrecadação
.
Substituindo
e
:
Fazendo as multiplicações:
Agrupando os termos em
:
Passo a passo para isolar
: subtrai-se
de ambos os lados:
Dividindo por
:
Passo 5
Com
encontramos
e
usando as fórmulas anteriores:
Confira rápida da consistência:
- Soma dos espectadores:
. - Arrecadação:
. Está correto.