Em uma sessão de cinema havia 300 espectadores. Uma parte deles pagou R$30,00 por ingresso, outra parte pagou R$ 15,00 por ingresso, e os espectadores restantes receberam os ingressos gratuitamente, em uma promoção. Sabe-se que a bilheteria arrecadou R$6.120,00 com a venda dos ingressos para essa sessão e que o número de pessoas que pagaram \mathrm{R} \15,00 foi o dobro do número de pessoas que receberam o ingresso gratuitamente. Quantas pessoas pagaram R\ú 30,00 por ingresso?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantas pessoas pagaram R$ 30,00 por ingresso?”
As informações dadas são:
  • O total de espectadores foi 300.
  • Uma parte pagou R\$\,30{,}00 por ingresso.
  • Outra parte pagou R\$\,15{,}00 por ingresso.
  • Os restantes receberam ingresso gratuito.
  • A bilheteria arrecadou, no total, R\$\,6.120{,}00.
  • O número de pessoas que pagaram R\$\,15{,}00 foi o dobro do número de pessoas que receberam ingresso gratuitamente.

Passo 2

Definimos variáveis para traduzir o enunciado em equações:
  • Seja x o número de pessoas que pagaram R\$\,30{,}00.
  • Seja y o número de pessoas que pagaram R\$\,15{,}00.
  • Seja z o número de pessoas que receberam ingresso gratuitamente.
A partir disso podemos escrever equações que representam as informações:
  1. A soma das pessoas é 300:
x + y + z = 300.
  1. A arrecadação total vem dos que pagaram 30 e 15; os gratuitos não contribuem:
30x + 15y = 6120.
  1. O enunciado diz que o número de pagantes de 15 é o dobro dos gratuitos:
y = 2z.
Explicação rápida: as equações acima são um sistema linear. Cada termo como 30x significa “30 reais vezes o número x de ingressos a 30 reais”.

Passo 3

Vamos usar o método da substituição (uma técnica simples para resolver sistemas de 3 equações lineares em 3 incógnitas): já temos y expresso em função de z pela equação (3). Substituímos y=2z na equação (1) para obter x em função de z.
Substituindo:
x + (2z) + z = 300.
Somando os termos em z:
x + 3z = 300.
Isolando x:
x = 300 - 3z.

Passo 4

Agora substituímos x e y (em termos de z) na equação da arrecadação 30x+15y=6120.
Substituindo x=300-3z e y=2z:
30(300-3z) + 15(2z) = 6120.
Fazendo as multiplicações:
9000 - 90z + 30z = 6120.
Agrupando os termos em z:
9000 - 60z = 6120.
Passo a passo para isolar z: subtrai-se 9000 de ambos os lados:
-60z = 6120 - 9000 = -2880.
Dividindo por -60:
z = \frac{-2880}{-60} = 48.

Passo 5

Com z=48 encontramos y e x usando as fórmulas anteriores:
y = 2z = 2\cdot 48 = 96.
x = 300 - 3z = 300 - 3\cdot 48 = 300 - 144 = 156.
Confira rápida da consistência:
  • Soma dos espectadores: 156 + 96 + 48 = 300.
  • Arrecadação: 30\cdot 156 + 15\cdot 96 = 4680 + 1440 = 6120. Está correto.

Resposta

156 pessoas

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