Lazáro diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40 % das vezes a sopa é feita por Mónica; 40 % das vezes por José, e 20 % das vezes por Maria. Mónica salga demais a sopa 10 % das vezes; José o faz em 5 % das vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Lázaro pede a sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. Qual a probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José?

Passo 1

Beleza, aqui a questão é de probabilidade condicional – mais exatamente, a tal da Regra de Bayes. A gente tem três cozinheiros (Mónica, José e Maria) que fazem a sopa em certas “chances” (probabilidades). Cada um deles tem uma chance diferente de salgar demais a sopa. A gente viu a sopa salgada e quer saber: “Qual a chance de quem fez a sopa foi o José?”
O que vamos precisar:
  • Entender eventos e probabilidade condicional.
  • Calcular a probabilidade total do evento “sopa salgada” (Regra da Probabilidade Total).
  • Aplicar a fórmula de Bayes pra achar é.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos e anotar as probabilidades dadas:
  • : sopa feita pela Mónica, .
  • : sopa feita pelo José, .
  • : sopa feita pela Maria, .
  • : sopa está salgada demais.
E as probabilidades de salgar demais:
  • .
  • .
  • .

Passo 3

Agora, calculamos P(S) = P(AM),P(Smid AM) + P(AJ),P(Smid AJ) + P(AR),P(Smid AR) : probabilidade total de a sopa estar salgada. Pela Lei da Probabilidade Total:
P(S) = 0,40cdot0,10 + 0,40cdot0,05 + 0,20cdot0,20 = 0,04 + 0,02 + 0,04 = 0,10
Substituindo:

Passo 4

Agora sim, a Fórmula de Bayes pra achar P(AJmid S) = P(AJ),P(Smid AJ)P(S) :
P(AJmid S) = 0,40 times 0,050,10 = 0,020,10 = 0,20
Substituindo os valores:

Resposta

A probabilidade de a sopa salgada ter sido feita pelo José é de , ou seja, 20%.

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